Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região do plano limitada pela reta y=0, x in[-1,1], e o gráfico da função cosseno hiperbólico, a qual é definida por
cosh x doteq e^x+e^-x2
Resposta: pi(e^4+4 e^2-1)4 e^2.

Passo 1

Estamos procurando o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região sob o gráfico de y=cosh x e acima de y=0 para x entre -1 e 1. Pelo método dos discos, cada fatia perpendicular a x é um disco de raio y e área pi y^2. Para resolver a integral, vamos usar a identidade hiperbólica cosh^2 x=tfrac1+cosh(2x)2.

Passo 2

Aplicando o método dos discos, montamos o integral de volume:
V=piintegral-1^1(cosh x)^2,dx

Passo 3

Usamos a identidade
$$\cosh^2 x=\frac{1+\cosh(2x)}2
cosh^2 x=1+cosh(2x)2
V=\pi\int_{-1}^{1}\frac{1+\cosh(2x)}2,dx
$$

Passo 4

Agora calculamos a integral indefinida:
integral1+cosh(2x)2,dx =x2+sinh(2x)4+C
e avaliamos de -1 a 1:
l[tfracx2+tfracsinh(2x)4r]-1^1 =l(tfrac12+tfracsinh(2)4r)-l(-tfrac12-tfracsinh(2)4r) =1+tfracsinh(2)2

Passo 5

Logo
V=pil(1+sinh(2)2r)

Passo 6

Para chegar na forma com exponenciais, usamos sinh(2)=tfrace^2-e^-22:
1+sinh(2)2 =1+e^2-e^-24 =4+e^2-e^-24 =e^4+4e^2-14e^2

Passo 7

Portanto o volume fica
V=pi,(e^4+4e^2-1)4e^2

Resposta

pi,(e^4+4e^2-1)4e^2

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