Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, da região do plano limitada pela reta
, e o gráfico da função cosseno hiperbólico, a qual é definida por
Resposta:
.
Passo 1
Estamos procurando o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região sob o gráfico de
e acima de
para
entre
e
. Pelo método dos discos, cada fatia perpendicular a x é um disco de raio
e área
. Para resolver a integral, vamos usar a identidade hiperbólica
.
Passo 2
Aplicando o método dos discos, montamos o integral de volume:
Passo 3
Usamos a identidade
$$\cosh^2 x=\frac{1+\cosh(2x)}2
V=\pi\int_{-1}^{1}\frac{1+\cosh(2x)}2,dx
$$
Passo 4
Agora calculamos a integral indefinida:
e avaliamos de
a
:
Passo 5
Logo
Passo 6
Para chegar na forma com exponenciais, usamos
:
Passo 7
Portanto o volume fica