a)
b)
b)
Passo 1
O enunciado apresenta duas equações diferenciais lineares de primeira ordem: (a)
com condição inicial
e (b)
no intervalo
. Vamos usar o método do fator integrante para resolver ambas.
Passo 2
Na parte (a) escrevemos na forma padrão
com
e
. O fator integrante é
.
Multiplicando por obtemos
[\frac{d}{dx}\bigl(y,e{\sin(x)}\bigr)=\sin(x)\cos(x),e{\sin(x)}]
Integrando em usando
e
achamos
[y,e{\sin(x)}=e{\sin(x)}(\sin(x)-1)+C],
logo
[y=\sin(x)-1+Ce^{-\sin(x)}].
Multiplicando por
[\frac{d}{dx}\bigl(y,e{\sin(x)}\bigr)=\sin(x)\cos(x),e{\sin(x)}]
Integrando em
[y,e{\sin(x)}=e{\sin(x)}(\sin(x)-1)+C],
logo
[y=\sin(x)-1+Ce^{-\sin(x)}].
Passo 3
Aplicando a condição inicial
resulta em
, então
. Assim a solução de (a) é
.
Passo 4
Na parte (b) dividimos por
e escrevemos
[y’+\frac{x}{a2-x2}y=\frac{a2}{a2-x^2}],
onde e
. O fator integrante é
[\mu(x)=e^{\int P(x),dx}=e{-\tfrac12\ln|a2-x2|}=(a2-x2){-1/2}].
A fórmula geral dá
[y,\mu(x)=\int\mu(x)Q(x),dx +C=\int a2(a2-x2){-3/2},dx +C].
Para calcular usamos
, de modo que o integral vira
. Voltando a
, temos
.
Daí
[\frac{y}{\sqrt{a2-x2}}=\frac{x}{\sqrt{a2-x2}}+C]
e finalmente
[y=x+C\sqrt{a2-x2}].
[y’+\frac{x}{a2-x2}y=\frac{a2}{a2-x^2}],
onde
[\mu(x)=e^{\int P(x),dx}=e{-\tfrac12\ln|a2-x2|}=(a2-x2){-1/2}].
A fórmula geral dá
[y,\mu(x)=\int\mu(x)Q(x),dx +C=\int a2(a2-x2){-3/2},dx +C].
Para calcular
Daí
[\frac{y}{\sqrt{a2-x2}}=\frac{x}{\sqrt{a2-x2}}+C]
e finalmente
[y=x+C\sqrt{a2-x2}].
Resposta
a)
. b) A solução geral é
no intervalo
, onde
é constante arbitrária.