a) y^prime+cos (x) y=sen(x) cdot cos (x), y(0)=1
b) (a^2-x^2) y^prime+x y=a^2, -a

Passo 1

O enunciado apresenta duas equações diferenciais lineares de primeira ordem: (a) y'+cos(x)y=sin(x)cos(x) com condição inicial y(0)=1 e (b) (a^2-x^2)y'+xy=a^2 no intervalo -a. Vamos usar o método do fator integrante para resolver ambas.

Passo 2

Na parte (a) escrevemos na forma padrão y'+P(x)y=Q(x) com P(x)=cos(x) e Q(x)=sin(x)cos(x). O fator integrante é mu(x)=e^integralcos(x),dx=e^sin(x).
Multiplicando por mu(x)=e^sin(x) obtemos
[\frac{d}{dx}\bigl(y,e{\sin(x)}\bigr)=\sin(x)\cos(x),e{\sin(x)}]
Integrando em x usando u=sin(x) e du=cos(x),dx achamos
[y,e{\sin(x)}=e{\sin(x)}(\sin(x)-1)+C],
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[y=\sin(x)-1+Ce^{-\sin(x)}].

Passo 3

Aplicando a condição inicial y(0)=1 resulta em 1=sin(0)-1+Ccdot e^0=-1+C, então C=2. Assim a solução de (a) é y(x)=sin(x)-1+2e^-sin(x).

Passo 4

Na parte (b) dividimos por a^2-x^2 e escrevemos
[y’+\frac{x}{a2-x2}y=\frac{a2}{a2-x^2}],
onde P(x)=xa^2-x^2 e Q(x)=a^2a^2-x^2. O fator integrante é
[\mu(x)=e^{\int P(x),dx}=e{-\tfrac12\ln|a2-x2|}=(a2-x2){-1/2}].
A fórmula geral dá
[y,\mu(x)=\int\mu(x)Q(x),dx +C=\int a2(a2-x2){-3/2},dx +C].
Para calcular integral a^2(a^2-x^2)^-3/2,dx usamos x=asin t, de modo que o integral vira integralsec^2 t,dt=tan t. Voltando a x, temos tan t=xraiza^2-x^2.
Daí
[\frac{y}{\sqrt{a2-x2}}=\frac{x}{\sqrt{a2-x2}}+C]
e finalmente
[y=x+C\sqrt{a2-x2}].

Resposta

a) y(x)=sin(x)-1+2e^-sin(x). b) A solução geral é y(x)=x+Craiza^2-x^2 no intervalo -a, onde C é constante arbitrária.

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