Seja f uma função com derivada contínua em [a, b]. Sabendo que o comprimento L da curva y=f(x), com a <= x <= b, é dado por
L=integrala^b raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
calcule o comprimento das seguintes curvas dadas em coordenadas retangulares (cartesianas):
(d) y=x^44+18 x^2, com x in[1,2]. Resposta: 12332.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento da curva dada por y=x^44+18x^2 no intervalo [1,2]. O conteúdo envolvido é comprimento de arco de uma função diferenciável com derivada contínua, usando a fórmula
L=integrala^braiz1+l(f'(x)r)^2,dx

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada f'(x). Para f(x)=x^44+18x^2, temos
f'(x)=x^3-14x^3

Passo 3

Em seguida, precisamos simplificar a expressão dentro da raiz:
1+l(f'(x)r)^2=1+l(x^3-14x^3r)^2 =1+(4x^6-1)^216x^6 =16x^6+(4x^6-1)^216x^6 =(4x^6+1)^216x^6

Passo 4

Portanto,
raiz1+l(f'(x)r)^2=4x^6+14x^3=x^3+14x^3

Passo 5

O comprimento fica então
L=integral1^2l(x^3+14x^3r)dx

Passo 6

Agora calculamos a antiderivada:
integrall(x^3+14x^3r)dx=x^44-18x^2+C

Passo 7

Basta avaliar de 1 a 2:
L=l[x^44-18x^2r]1^2 =l(2^44-18cdot2^2r)-l(1^44-18cdot1^2r) =l(4-132r)-l(14-18r) =12732-18= 12732-432= 12332

Resposta

12332

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