Seja
uma função com derivada contínua em
. Sabendo que o comprimento
da curva
, com
, é dado por
calcule o comprimento das seguintes curvas dadas em coordenadas retangulares (cartesianas):
(d)
, com
. Resposta:
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o comprimento da curva dada por
no intervalo
. O conteúdo envolvido é comprimento de arco de uma função diferenciável com derivada contínua, usando a fórmula
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada
. Para
, temos
Passo 3
Em seguida, precisamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 4
Portanto,
Passo 5
O comprimento fica então
Passo 6
Agora calculamos a antiderivada:
Passo 7
Basta avaliar de 1 a 2: