Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x, y ) tais que
y \geq 0,1 \leq x \leq 2 \mathrm{e} x^{2}-y^{2} \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y) tais que:
y \ge 0,\qquad 1 \le x \le 2,\qquad x^{2}-y^{2} \ge 0.
Informações relevantes dadas:
\text{(i) } y\ge 0;\qquad \text{(ii) } x\in[1,2];\qquad \text{(iii) } x^{2}-y^{2}\ge 0.
A pergunta é: qual é o volume do sólido gerado por rotacionar esse subconjunto do plano em torno do eixo x?

Passo 2

Interpretação da desigualdade \,x^{2}-y^{2}\ge 0.\
Essa desigualdade é equivalente a
y^{2}\le x^{2}.
Da relação y^{2}\le x^{2} obtemos
-\lvert x\rvert \le y \le \lvert x\rvert.
Como o enunciado impõe y\ge 0 e além disso x\in[1,2] (logo x\ge 1>0), temos \lvert x\rvert = x. Portanto, juntas as condições implicam
0 \le y \le x\quad\text{para}\quad x\in[1,2].

Passo 3

Descrever geometricamente a região no plano xy.\
Para cada x entre 1 e 2, o valor de y varia de 0 até x. Assim a região é a região plana limitada pelas curvas
y=0,\qquad y=x,\qquad x=1,\qquad x=2,
ou seja, um trapézio retangular (mais precisamente um triângulo retangular deslocado) situado acima do eixo x entre x=1 e x=2.

Passo 4

Escolha do método de cálculo do volume e justificativa.\
Como estamos rotacionando uma região que, para cada x fixo, tem uma única altura máxima y=f(x) acima do eixo x (e a parte inferior é o próprio eixo x, y=0), o método mais simples e direto é o método dos discos (ou fatias). Explico a ideia com calma:
  • Fixamos um x e consideramos uma fatia vertical de espessura infinitesimal dx.
  • Ao rotacionar essa fatia em torno do eixo x, ela gera um disco (um cilindro muito fino) de raio igual à altura da região naquele x, isto é, raio r=f(x).
  • A área da secção transversal é \pi r^{2}=\pi [f(x)]^{2}.
  • O volume aproximado da fatia é \pi[f(x)]^{2}dx.
    Então integrando ao longo do intervalo de x obtemos a fórmula do volume:
V=\int_{a}^{b} \pi\,[f(x)]^{2}\,dx.
Aqui f(x) é a função que dá o limite superior em y para cada x.

Passo 5

Identificar a função f(x) para aplicar a fórmula.\
Da análise anterior, o limite superior em y é y=x. Logo
f(x)=x\quad\text{para }x\in[1,2].
A parte inferior é y=0, então não há furo interno (caso houvesse outra curva inferior diferente de zero usaríamos o método das cascas ou dos anéis/aros).

Passo 6

Montar a integral do volume usando o método dos discos.\
Aplicando a fórmula com a=1, b=2 e f(x)=x, temos
V=\int_{1}^{2} \pi\,[x]^{2}\,dx.
Colocando o fator \pi em evidência:
V=\pi\int_{1}^{2} x^{2}\,dx.

Passo 7

Calcular a integral passo a passo.\
A primitiva de x^{2} é x^{3}/3. Portanto
\int_{1}^{2} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}=\frac{2^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.
Multiplicando por \pi obtemos
V=\pi\cdot\frac{7}{3}=\frac{7\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{7\pi}{3}

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