Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares (
) tais que
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que:
Informações relevantes dadas:
A pergunta é: qual é o volume do sólido gerado por rotacionar esse subconjunto do plano em torno do eixo
?
Passo 2
Interpretação da desigualdade
.\
Essa desigualdade é equivalente a
Essa desigualdade é equivalente a
Da relação
obtemos
Como o enunciado impõe
e além disso
(logo
), temos
. Portanto, juntas as condições implicam
Passo 3
Descrever geometricamente a região no plano
.\
Para cada entre
e
, o valor de
varia de
até
. Assim a região é a região plana limitada pelas curvas
Para cada
ou seja, um trapézio retangular (mais precisamente um triângulo retangular deslocado) situado acima do eixo
entre
e
.
Passo 4
Escolha do método de cálculo do volume e justificativa.\
Como estamos rotacionando uma região que, para cada fixo, tem uma única altura máxima
acima do eixo
(e a parte inferior é o próprio eixo
,
), o método mais simples e direto é o método dos discos (ou fatias). Explico a ideia com calma:
Como estamos rotacionando uma região que, para cada
- Fixamos um
e consideramos uma fatia vertical de espessura infinitesimal . - Ao rotacionar essa fatia em torno do eixo
, ela gera um disco (um cilindro muito fino) de raio igual à altura da região naquele , isto é, raio . - A área da secção transversal é
. - O volume aproximado da fatia é
.
Então integrando ao longo do intervalo deobtemos a fórmula do volume:
Aqui
é a função que dá o limite superior em
para cada
.
Passo 5
Identificar a função
para aplicar a fórmula.\
Da análise anterior, o limite superior em é
. Logo
Da análise anterior, o limite superior em
A parte inferior é
, então não há furo interno (caso houvesse outra curva inferior diferente de zero usaríamos o método das cascas ou dos anéis/aros).
Passo 6
Montar a integral do volume usando o método dos discos.\
Aplicando a fórmula com ,
e
, temos
Aplicando a fórmula com
Colocando o fator
em evidência:
Passo 7
Calcular a integral passo a passo.\
A primitiva de é
. Portanto
A primitiva de
Multiplicando por
obtemos