Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x, y ) tais que
1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 e y \geq 0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y) tais que
1 \le x^{2}+y^{2} \le 4 \quad\text{e}\quad y\ge 0.
Informações relevantes dadas:
\,1 — a região no plano é a parte superior (porque y\ge 0) do anel entre as circunferências de raio \,1 e \,2;
\,2 — estamos girando essa região em torno do eixo x;
\,3 — queremos o volume do sólido gerado por essa rotação.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o método das seções transversais (discos/aros), que é bem direto aqui. Explicando a ideia de forma simples: para cada valor fixo de x o conjunto de pontos da região tem um intervalo em y; ao girar esse intervalo em torno do eixo x obtemos um disco (se o intervalo começa em y=0) ou um aro (disco com furo) se o intervalo não inclui y=0. O volume total é a integral ao longo de x da área da seção transversal A(x). A fórmula básica que vamos usar é
V=\int_{a}^{b} A(x)\,dx,
onde A(x) é a área do disco/aro perpendicular ao eixo x em x.

Passo 3

Vamos caracterizar, para cada x, os limites em y da região original. A condição \,1\le x^{2}+y^{2}\le 4
y^{2}\le 4-x^{2}\quad\text{e}\quad y^{2}\ge 1-x^{2}.
Como também temos y\ge 0, então os limites em y são:
  • se |x|\le 1: y varia de \sqrt{1-x^{2}} até \sqrt{4-x^{2}};
  • se 1<|x|\le 2: 1-x^{2}<0, então a condição inferior é satisfeita para y=0; assim y varia de 0 até \sqrt{4-x^{2}};
  • para |x|>2 não há pontos (já que x^{2}>4). Logo o intervalo de x relevante é [-2,2].

Passo 4

Área da seção transversal A(x) ao girar em torno do eixo x:
  • se |x|\le 1 a seção é um aro com raio externo R(x)=\sqrt{4-x^{2}} e raio interno r(x)=\sqrt{1-x^{2}}. A área do aro é
A(x)=\pi\big(R(x)^{2}-r(x)^{2}\big)=\pi\big((4-x^{2})-(1-x^{2})\big)=\pi\cdot 3=3\pi.
Observe que as dependências em x cancelam: para |x|\le 1 a área é constante 3\pi.
  • se 1<|x|\le 2 a seção é um disco de raio R(x)=\sqrt{4-x^{2}} (não há furo), então
A(x)=\pi R(x)^{2}=\pi(4-x^{2}).

Passo 5

Montamos a integral do volume usando a expressão de A(x) em [-2,2]. Como A(x) é função par (depende de x^{2}), podemos usar simetria e integrar de 0 a 2 e multiplicar por 2:
V= \int_{-2}^{2} A(x)\,dx = 2\int_{0}^{2} A(x)\,dx.
Dividindo o intervalo [0,2] nas partes onde A(x) muda:
V = 2\left(\int_{0}^{1} 3\pi\,dx + \int_{1}^{2} \pi(4-x^{2})\,dx\right).

Passo 6

Calcule a primeira integral \displaystyle \int_{0}^{1} 3\pi\,dx. Como 3\pi é constante:
\int_{0}^{1} 3\pi\,dx = 3\pi\cdot (1-0)=3\pi.

Passo 7

Calcule a segunda integral \displaystyle \int_{1}^{2} \pi(4-x^{2})\,dx. Fatora-se \pi:
\int_{1}^{2} \pi(4-x^{2})\,dx = \pi\left(\int_{1}^{2} 4\,dx - \int_{1}^{2} x^{2}\,dx\right).
Agora calculamos cada parte:
\int_{1}^{2} 4\,dx = 4(x)\Big|_{1}^{2} = 4(2-1)=4,
\int_{1}^{2} x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\Big|_{1}^{2} = \frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}.
Substituindo:
\int_{1}^{2} \pi(4-x^{2})\,dx = \pi\left(4-\frac{7}{3}\right)=\pi\cdot\frac{5}{3}=\frac{5\pi}{3}.

Passo 8

Somamos as integrais internas e multiplicamos por 2:
\int_{0}^{1} 3\pi\,dx + \int_{1}^{2} \pi(4-x^{2})\,dx = 3\pi + \frac{5\pi}{3} = \frac{9\pi+5\pi}{3}=\frac{14\pi}{3}.
Portanto
V = 2\cdot \frac{14\pi}{3} = \frac{28\pi}{3}.

Passo 9

Interpretação rápida e checagem: o resultado é um número positivo razoável; a conta foi feita por seções transversais (fórmula direta) e aproveitou a simetria da região. Tudo é consistente com as áreas dos aros/discos usados.

Resposta

\dfrac{28\pi}{3}

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