Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares ( x, y ) tais que 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 e y \geq 0.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y) tais que
Informações relevantes dadas: \,1 — a região no plano é a parte superior (porque y\ge 0) do anel entre as circunferências de raio \,1 e \,2; \,2 — estamos girando essa região em torno do eixo x; \,3 — queremos o volume do sólido gerado por essa rotação.
Passo 2
Escolha do método: vou usar o método das seções transversais (discos/aros), que é bem direto aqui. Explicando a ideia de forma simples: para cada valor fixo de x o conjunto de pontos da região tem um intervalo em y; ao girar esse intervalo em torno do eixo x obtemos um disco (se o intervalo começa em y=0) ou um aro (disco com furo) se o intervalo não inclui y=0. O volume total é a integral ao longo de x da área da seção transversal A(x). A fórmula básica que vamos usar é
V=\int_{a}^{b} A(x)\,dx,
onde A(x) é a área do disco/aro perpendicular ao eixo x em x.
Passo 3
Vamos caracterizar, para cada x, os limites em y da região original. A condição \,1\le x^{2}+y^{2}\le 4 dá
Observe que as dependências em x cancelam: para |x|\le 1 a área é constante 3\pi.
se 1<|x|\le 2 a seção é um disco de raio R(x)=\sqrt{4-x^{2}} (não há furo), então
A(x)=\pi R(x)^{2}=\pi(4-x^{2}).
Passo 5
Montamos a integral do volume usando a expressão de A(x) em [-2,2]. Como A(x) é função par (depende de x^{2}), podemos usar simetria e integrar de 0 a 2 e multiplicar por 2:
Interpretação rápida e checagem: o resultado é um número positivo razoável; a conta foi feita por seções transversais (fórmula direta) e aproveitou a simetria da região. Tudo é consistente com as áreas dos aros/discos usados.