Calcule \nabla V, \nabla \cdot \nabla V e \nabla \times \nabla V se:
V=4 r^{2} \cos \theta \operatorname{sen} \varphi

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função escalar \;V=4 r^{2}\cos\theta\;\operatorname{sen}\varphi\;: calcular \nabla V, \nabla\cdot\nabla V e \nabla\times\nabla V. As informações relevantes que temos são exatamente a expressão de V em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi). Vou usar a convenção de coordenadas esféricas habitual em muitos livros de cálculo vetorial:
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi,
ou seja, \theta é o ângulo azimutal no plano xy e \varphi é o ângulo polar (colatitude) a partir do eixo z. As componentes escalares parciais que vou precisar são \partial V/\partial r,\;\partial V/\partial\theta,\;\partial V/\partial\varphi. A resolução começa agora.

Passo 2

Fórmula do gradiente em coordenadas esféricas (com a convenção adotada): para um escalar V(r,\theta,\varphi),
\nabla V = \mathbf{e}_r\frac{\partial V}{\partial r}+\mathbf{e}_\theta\frac{1}{r\sin\varphi}\frac{\partial V}{\partial\theta}+\mathbf{e}_\varphi\frac{1}{r}\frac{\partial V}{\partial\varphi}.
Aqui \mathbf{e}_r,\mathbf{e}_\theta,\mathbf{e}_\varphi são os versores locais (radial, azimutal e polar), e as razões 1/(r\sin\varphi) e 1/r aparecem por causa da métrica das coordenadas esféricas (explico rápido: derivações angulares medem variação ao longo de arcos cujo comprimento é proporcional a r e a r\sin\varphi, daí os fatores).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de V. Temos
V(r,\theta,\varphi)=4r^{2}\cos\theta\sin\varphi.
Derivando em relação a r:
\frac{\partial V}{\partial r}=8r\cos\theta\sin\varphi.
Derivando em relação a \theta (tratando r,\varphi constantes):
\frac{\partial V}{\partial \theta}=4r^{2}\,(-\sin\theta)\sin\varphi=-4r^{2}\sin\theta\sin\varphi.
Derivando em relação a \varphi (tratando r,\theta constantes):
\frac{\partial V}{\partial \varphi}=4r^{2}\cos\theta\cos\varphi.
Expliquei cada passo: produto r^2 2r e o restante é função angular; derivada de \cos\theta é -\sin\theta; derivada de \sin\varphi é \cos\varphi.

Passo 4

Agora aplico a fórmula do gradiente e simplifico termo a termo:
\nabla V=\mathbf{e}_r\,(8r\cos\theta\sin\varphi) +\mathbf{e}_\theta\frac{1}{r\sin\varphi}\,(-4r^{2}\sin\theta\sin\varphi) +\mathbf{e}_\varphi\frac{1}{r}\,(4r^{2}\cos\theta\cos\varphi).
Simplificando os fatores r e \sin\varphi onde possível:
\nabla V=\mathbf{e}_r\,8r\cos\theta\sin\varphi +\mathbf{e}_\theta\,(-4r\sin\theta) +\mathbf{e}_\varphi\,4r\cos\theta\cos\varphi.
Ou, de forma mais “arrumada”,
\nabla V=8r\cos\theta\sin\varphi\;\mathbf{e}_r-4r\sin\theta\;\mathbf{e}_\theta+4r\cos\theta\cos\varphi\;\mathbf{e}_\varphi.
Interpretação rápida: cada componente tem um fator r porque V cresce como r^{2}, então \partial V/\partial r dá um r e os termos angulares também trazem um r ao simplificar.

Passo 5

Agora precisamos de \nabla\cdot\nabla V, que é a divergência do gradiente — isto é a Laplaciana escalar \nabla^{2}V. A fórmula da Laplaciana em coordenadas esféricas (mesma convenção) é
\nabla^{2}V=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\Big(r^{2}\frac{\partial V}{\partial r}\Big) +\frac{1}{r^{2}\sin\varphi}\frac{\partial}{\partial\varphi}\!\Big(\sin\varphi\frac{\partial V}{\partial\varphi}\Big) +\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\varphi}\frac{\partial^{2}V}{\partial\theta^{2}}.
Vou calcular cada termo separadamente usando as derivadas obtidas no Passo 3.

Passo 6

Primeiro termo (derivada radial):
\frac{\partial V}{\partial r}=8r\cos\theta\sin\varphi\quad\Rightarrow\quad r^{2}\frac{\partial V}{\partial r}=8r^{3}\cos\theta\sin\varphi.
Derivando em r:
\frac{\partial}{\partial r}\!\big(8r^{3}\cos\theta\sin\varphi\big)=24r^{2}\cos\theta\sin\varphi.
Dividindo por r^{2} dá o primeiro termo da Laplaciana:
\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\!\big(r^{2}\frac{\partial V}{\partial r}\big)=24\cos\theta\sin\varphi.

Passo 7

Segundo termo (parte em \varphi):
\frac{\partial V}{\partial\varphi}=4r^{2}\cos\theta\cos\varphi.
Multiplicando por \sin\varphi:
\sin\varphi\frac{\partial V}{\partial\varphi}=4r^{2}\cos\theta\sin\varphi\cos\varphi.
Derivando em \varphi:
\frac{\partial}{\partial\varphi}\big(4r^{2}\cos\theta\sin\varphi\cos\varphi\big) =4r^{2}\cos\theta(\cos^{2}\varphi-\sin^{2}\varphi) =4r^{2}\cos\theta\cos(2\varphi).
Dividindo por r^{2}\sin\varphi (conforme a fórmula):
\frac{1}{r^{2}\sin\varphi}\frac{\partial}{\partial\varphi}\!\Big(\sin\varphi\frac{\partial V}{\partial\varphi}\Big) =\frac{4\cos\theta\cos(2\varphi)}{\sin\varphi}.

Passo 8

Terceiro termo (segunda derivada em \theta):
\frac{\partial V}{\partial\theta}=-4r^{2}\sin\theta\sin\varphi \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial^{2}V}{\partial\theta^{2}}=-4r^{2}\cos\theta\sin\varphi.
Dividindo por r^{2}\sin^{2}\varphi (conforme a fórmula):
\frac{1}{r^{2}\sin^{2}\varphi}\frac{\partial^{2}V}{\partial\theta^{2}} =\frac{-4\cos\theta\sin\varphi}{\sin^{2}\varphi}=-\frac{4\cos\theta}{\sin\varphi}.

Passo 9

Somando os três termos da Laplaciana:
\nabla^{2}V =24\cos\theta\sin\varphi+\frac{4\cos\theta\cos(2\varphi)}{\sin\varphi}-\frac{4\cos\theta}{\sin\varphi}.
Agrupando os dois últimos termos com denominador \sin\varphi:
\frac{4\cos\theta\big(\cos(2\varphi)-1\big)}{\sin\varphi}.
Usando \cos(2\varphi)-1=-2\sin^{2}\varphi, isso vira
\frac{4\cos\theta\big(-2\sin^{2}\varphi\big)}{\sin\varphi}=-8\cos\theta\sin\varphi.
Portanto
\nabla^{2}V=24\cos\theta\sin\varphi-8\cos\theta\sin\varphi=16\cos\theta\sin\varphi.
Ou seja,
\nabla\cdot\nabla V=\nabla^{2}V=16\cos\theta\sin\varphi.

Passo 10

Agora \nabla\times\nabla V. Existe uma identidade vetorial básica e muito útil: o rotacional do gradiente de qualquer função escalar suficientemente suave é o vetor nulo:
\nabla\times\nabla V=\mathbf{0}.
Intuição curta (sem jargão): o gradiente mede variação direcional de V; não faz “circulação” porque derivações mistas se cancelam (as segundas derivadas cruzadas aparecem com sinais que se anulam). Se quiser, uma verificação é expandir as componentes e usar que as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas (simetria de Schwarz), então todas as componentes do rotacional somam zero. Portanto
\nabla\times\nabla V=\mathbf{0}.

Resposta

\nabla V=8r\cos\theta\sin\varphi\;\mathbf{e}_r-4r\sin\theta\;\mathbf{e}_\theta+4r\cos\theta\cos\varphi\;\mathbf{e}_\varphi
\nabla\cdot\nabla V=16\cos\theta\sin\varphi
\nabla\times\nabla V=\mathbf{0}

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