Calcule
e
se:
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função escalar
: calcular
,
e
. As informações relevantes que temos são exatamente a expressão de
em coordenadas esféricas
. Vou usar a convenção de coordenadas esféricas habitual em muitos livros de cálculo vetorial:
ou seja,
é o ângulo azimutal no plano
e
é o ângulo polar (colatitude) a partir do eixo
. As componentes escalares parciais que vou precisar são
. A resolução começa agora.
Passo 2
Fórmula do gradiente em coordenadas esféricas (com a convenção adotada): para um escalar
,
Aqui
são os versores locais (radial, azimutal e polar), e as razões
e
aparecem por causa da métrica das coordenadas esféricas (explico rápido: derivações angulares medem variação ao longo de arcos cujo comprimento é proporcional a
e a
, daí os fatores).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Temos
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
(tratando
constantes):
Derivando em relação a
(tratando
constantes):
Expliquei cada passo: produto
dá
e o restante é função angular; derivada de
é
; derivada de
é
.
Passo 4
Agora aplico a fórmula do gradiente e simplifico termo a termo:
Simplificando os fatores
e
onde possível:
Ou, de forma mais “arrumada”,
Interpretação rápida: cada componente tem um fator
porque
cresce como
, então
dá um
e os termos angulares também trazem um
ao simplificar.
Passo 5
Agora precisamos de
, que é a divergência do gradiente — isto é a Laplaciana escalar
. A fórmula da Laplaciana em coordenadas esféricas (mesma convenção) é
Vou calcular cada termo separadamente usando as derivadas obtidas no Passo 3.
Passo 6
Primeiro termo (derivada radial):
Derivando em
:
Dividindo por
dá o primeiro termo da Laplaciana:
Passo 7
Segundo termo (parte em
):
Multiplicando por
:
Derivando em
:
Dividindo por
(conforme a fórmula):
Passo 8
Terceiro termo (segunda derivada em
):
Dividindo por
(conforme a fórmula):
Passo 9
Somando os três termos da Laplaciana:
Agrupando os dois últimos termos com denominador
:
Usando
, isso vira
Portanto
Ou seja,
Passo 10
Agora
. Existe uma identidade vetorial básica e muito útil: o rotacional do gradiente de qualquer função escalar suficientemente suave é o vetor nulo:
Intuição curta (sem jargão): o gradiente mede variação direcional de
; não faz “circulação” porque derivações mistas se cancelam (as segundas derivadas cruzadas aparecem com sinais que se anulam). Se quiser, uma verificação é expandir as componentes e usar que as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas (simetria de Schwarz), então todas as componentes do rotacional somam zero. Portanto