Exercício 10 Determine a multiplicidade
da raiz
na equação
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:\n
- Pede-se a multiplicidade
da raiz da equação .\n - O polinômio dado é
- Em termos práticos: queremos saber o maior inteiro
tal que divide . Ou seja, é raiz de multiplicidade se e . (Isso é só para você saber o objetivo; a resolução começará no próximo passo.)
Passo 2
Escolhendo o método: vou usar divisão sintética sucessiva por
. Por quê? Porque aqui temos um polinômio de grau razoável com coeficientes simples e a raiz candidata é
; dividir repetidamente por
é direto, mecânico e fácil de fazer sem calculadora — ideal para prova. (Uma alternativa é usar derivadas e verificar até qual ordem elas são zero em
; eu vou usar divisão sintética e, ao final, faço uma checagem rápida pelas derivadas para confirmar.)
Passo 3
Preparando a primeira divisão sintética: anoto os coeficientes de
em ordem decrescente de grau:
A regra da divisão sintética por
(ou por raiz
) é: trazemos o primeiro coeficiente para baixo; multiplicamos esse número por
e somamos ao próximo coeficiente; repetimos até o fim. O último valor obtido é o resto.
Passo 4
Executando a primeira divisão sintética (raiz
) — passo a passo:
Assim o resto é
(logo
divide
), e o quociente tem coeficientes
ou seja o quociente é
Conclusão:
é raiz (multiplicidade pelo menos
).]
Passo 5
Segunda divisão sintética: agora divido
por
. Coeficientes de
:
Aplicando a mesma máquina (raiz
):
Passo 6
Execução da segunda divisão sintética — passo a passo:
Resto
. O novo quociente tem coeficientes
ou seja
Conclusão:
é raiz de multiplicidade pelo menos
.]
Passo 7
Terceira divisão sintética: divido
por
. Coeficientes de
:
Aplicando divisão sintética por
:
Passo 8
Execução da terceira divisão sintética — passo a passo:
Resto
. O novo quociente tem coeficientes
ou seja
Conclusão:
é raiz de multiplicidade pelo menos
.]
Passo 9
Verificação final: agora verificamos se
é raiz de
. Calculando:
Portanto
não divide
, logo não podemos continuar a dividir. Isso significa que a multiplicidade de
na factorização de
é exatamente
.
Passo 10
Confirmação alternativa (opcional, para segurança): podemos checar pelas derivadas: se a multiplicidade é
, então
e
. Calculando rapidamente (apenas para conferir):
Como
e
, isso confirma multiplicidade
.