Exercício 10 Determine a multiplicidade m da raiz r=1 na equação P(x)=x^{5}-2 x^{4}+x^{3}-x^{2}+2 x-1=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:\n
  • Pede-se a multiplicidade m da raiz r=1 da equação P(x)=0.\n
  • O polinômio dado é P(x)=x^{5}-2x^{4}+x^{3}-x^{2}+2x-1.
  • Em termos práticos: queremos saber o maior inteiro m\ge 1 tal que (x-1)^{m} divide P(x). Ou seja, x=1 é raiz de multiplicidade m se P(1)=P'(1)=\cdots=P^{(m-1)}(1)=0 e P^{(m)}(1)\neq 0. (Isso é só para você saber o objetivo; a resolução começará no próximo passo.)

Passo 2

Escolhendo o método: vou usar divisão sintética sucessiva por x-1. Por quê? Porque aqui temos um polinômio de grau razoável com coeficientes simples e a raiz candidata é 1; dividir repetidamente por x-1 é direto, mecânico e fácil de fazer sem calculadora — ideal para prova. (Uma alternativa é usar derivadas e verificar até qual ordem elas são zero em x=1; eu vou usar divisão sintética e, ao final, faço uma checagem rápida pelas derivadas para confirmar.)

Passo 3

Preparando a primeira divisão sintética: anoto os coeficientes de P(x) em ordem decrescente de grau:
1,\; -2,\; 1,\; -1,\; 2,\; -1.
A regra da divisão sintética por x-1 (ou por raiz 1) é: trazemos o primeiro coeficiente para baixo; multiplicamos esse número por 1 e somamos ao próximo coeficiente; repetimos até o fim. O último valor obtido é o resto.

Passo 4

Executando a primeira divisão sintética (raiz 1) — passo a passo:
\begin{array}{cccccc} \text{coeficientes:} & 1 & -2 & 1 & -1 & 2 & -1\\[4pt] \text{trazemos:} & 1 & & & & & \\[4pt] \text{multiplica por }1: & & 1 & & & & \\[4pt] \text{soma:} & & -1 & & & & \\[4pt] \text{multiplica por }1: & & & -1 & & & \\[4pt] \text{soma:} & & & 0 & & & \\[4pt] \text{multiplica por }1: & & & & 0 & & \\[4pt] \text{soma:} & & & & -1 & & \\[4pt] \text{multiplica por }1: & & & & & -1 & \\[4pt] \text{soma:} & & & & & 1 & \\[4pt] \text{multiplica por }1: & & & & & & 1 \\[4pt] \text{soma (resto):} & & & & & & 0 \end{array}
Assim o resto é 0 (logo x-1 divide P), e o quociente tem coeficientes
1,\; -1,\; 0,\; -1,\; 1,
ou seja o quociente é
Q_{1}(x)=x^{4}-x^{3}-x+1.
Conclusão: x=1 é raiz (multiplicidade pelo menos 1).]

Passo 5

Segunda divisão sintética: agora divido Q_{1}(x) por x-1. Coeficientes de Q_{1}:
1,\; -1,\; 0,\; -1,\; 1.
Aplicando a mesma máquina (raiz 1):

Passo 6

Execução da segunda divisão sintética — passo a passo:
\begin{array}{cccccc} \text{coeficientes:} & 1 & -1 & 0 & -1 & 1\\[4pt] \text{trazemos:} & 1 & & & & \\[4pt] \text{multiplica por }1: & & 1 & & & \\[4pt] \text{soma:} & & 0 & & & \\[4pt] \text{multiplica por }1: & & & 0 & & \\[4pt] \text{soma:} & & & 0 & & \\[4pt] \text{multiplica por }1: & & & & 0 & \\[4pt] \text{soma:} & & & & -1 & \\[4pt] \text{multiplica por }1: & & & & & -1 \\[4pt] \text{soma (resto):} & & & & & 0 \end{array}
Resto 0. O novo quociente tem coeficientes
1,\;0,\;0,\;-1,
ou seja
Q_{2}(x)=x^{3}-1.
Conclusão: x=1 é raiz de multiplicidade pelo menos 2.]

Passo 7

Terceira divisão sintética: divido Q_{2}(x)=x^{3}-1 por x-1. Coeficientes de Q_{2}:
1,\;0,\;0,\;-1.
Aplicando divisão sintética por 1:

Passo 8

Execução da terceira divisão sintética — passo a passo:
\begin{array}{cccc} \text{coeficientes:} & 1 & 0 & 0 & -1\\[4pt] \text{trazemos:} & 1 & & & \\[4pt] \text{multiplica por }1: & & 1 & & \\[4pt] \text{soma:} & & 1 & & \\[4pt] \text{multiplica por }1: & & & 1 & \\[4pt] \text{soma:} & & & 1 & \\[4pt] \text{multiplica por }1: & & & & 1 \\[4pt] \text{soma (resto):} & & & & 0 \end{array}
Resto 0. O novo quociente tem coeficientes
1,\;1,\;1,
ou seja
Q_{3}(x)=x^{2}+x+1.
Conclusão: x=1 é raiz de multiplicidade pelo menos 3.]

Passo 9

Verificação final: agora verificamos se x=1 é raiz de Q_{3}(x)=x^{2}+x+1. Calculando:
Q_{3}(1)=1^{2}+1+1=3\neq 0.
Portanto x-1 não divide Q_{3}(x), logo não podemos continuar a dividir. Isso significa que a multiplicidade de x=1 na factorização de P(x) é exatamente 3.

Passo 10

Confirmação alternativa (opcional, para segurança): podemos checar pelas derivadas: se a multiplicidade é m, então P(1)=P'(1)=\cdots=P^{(m-1)}(1)=0 e P^{(m)}(1)\neq 0. Calculando rapidamente (apenas para conferir):
P'(x)=5x^{4}-8x^{3}+3x^{2}-2x+2,\quad P'(1)=5-8+3-2+2=0,
P''(x)=20x^{3}-24x^{2}+6x-2,\quad P''(1)=20-24+6-2=0,
P^{(3)}(x)=60x^{2}-48x+6,\quad P^{(3)}(1)=60-48+6=18\neq 0.
Como P(1)=P'(1)=P''(1)=0 e P^{(3)}(1)\neq 0, isso confirma multiplicidade m=3.

Resposta

m=3

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