Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que
0 <= x <= e, 0 <= y <= 2 e y <= ln (x).

Passo 1

A questão pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região definida por 0 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ 2 e y ≤ ln(x). O conteúdo é volume por revolução e vamos precisar aplicar o método de discos (fatias horizontais).

Passo 2

Para entender a região, note que existe ponto na região somente se ln(x)≥0 (pois y≥0). Isso ocorre quando x≥1. Também ln(x)≤2 implica x≤e^2, mas como x≤e, sobra 1≤x≤e. Para cada y, a região em x vai de x=e^y até x=e, mas só enquanto 0≤y≤1 (pois ln(e)=1).
Usando o método de discos: fixamos uma fatia horizontal de espessura dy em y entre 0 e 1. Ao rotacionar, essa fatia gera um anel de raio externo R_o=e e raio interno R_i=e^y. A área desse anel é
A(y)=pil(Ro^2-Ri^2r)=pil(e^2 - e^2yr)

Passo 3

O volume é então a soma (integral) dessas áreas de y=0 a y=1:
V=integral0^1pil(e^2 - e^2yr),dy

Passo 4

Agora basta calcular a integral:
V=piintegral0^1e^2,dy - piintegral0^1e^2y,dy

Passo 5

Para a primeira parte temos
piintegral0^1e^2,dy=pi e^2[y]0^1=pi e^2
Para a segunda parte,
piintegral0^1e^2y,dy=pi[e^2y2]0^1=pil(e^22-12r)

Passo 6

Subtraindo,
V=pi e^2 - pil(e^22-12r)=pil(e^22 + 12r)

Resposta

V=pi2l(e^2+1r).

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