Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os pares
tais que
e
.
Passo 1
A questão pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região definida por 0 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ 2 e y ≤ ln(x). O conteúdo é volume por revolução e vamos precisar aplicar o método de discos (fatias horizontais).
Passo 2
Para entender a região, note que existe ponto na região somente se ln(x)≥0 (pois y≥0). Isso ocorre quando x≥1. Também ln(x)≤2 implica x≤e^2, mas como x≤e, sobra 1≤x≤e. Para cada y, a região em x vai de x=e^y até x=e, mas só enquanto 0≤y≤1 (pois ln(e)=1).
Usando o método de discos: fixamos uma fatia horizontal de espessura dy em y entre 0 e 1. Ao rotacionar, essa fatia gera um anel de raio externo R_o=e e raio interno R_i=e^y. A área desse anel é
Usando o método de discos: fixamos uma fatia horizontal de espessura dy em y entre 0 e 1. Ao rotacionar, essa fatia gera um anel de raio externo R_o=e e raio interno R_i=e^y. A área desse anel é
Passo 3
O volume é então a soma (integral) dessas áreas de y=0 a y=1:
Passo 4
Agora basta calcular a integral:
Passo 5
Para a primeira parte temos
Para a segunda parte,
Passo 6
Subtraindo,