Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto de todos os
tais que
e
.
Passo 1
O exercício pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região no plano definida por 1≤x≤2 e 0≤y≤sen x. O conteúdo principal é volume de revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
No método das cascas cilíndricas, dividimos a região em tiras verticais de largura dx, que ao girar geram cascas de raio x e altura sen x. O diferencial de volume é
Logo, o volume total é
Passo 3
Precisamos calcular a integral
Usando integração por partes: seja u=x e dv=sen x dx. Então du=dx e v=-cos x. Assim,
Passo 4
Agora avaliamos de 1 a 2 e multiplicamos por 2π. Temos
Portanto, simplificando, obtemos a expressão do volume.