Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que
1 <= x <= 2 e 0 <= y <= sen x.

Passo 1

O exercício pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região no plano definida por 1≤x≤2 e 0≤y≤sen x. O conteúdo principal é volume de revolução e vamos usar o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, dividimos a região em tiras verticais de largura dx, que ao girar geram cascas de raio x e altura sen x. O diferencial de volume é
dV = 2pi cdot (raio) cdot (a
Logo, o volume total é
V = 2pi integral1^2 x,sin x,dx

Passo 3

Precisamos calcular a integral
integral x,sin x,dx
Usando integração por partes: seja u=x e dv=sen x dx. Então du=dx e v=-cos x. Assim,
integral x,sin x,dx = -xcos x + integral cos x,dx = -xcos x + sin x + C

Passo 4

Agora avaliamos de 1 a 2 e multiplicamos por 2π. Temos
V = 2pi l[(-xcos x + sin x)r]1^2 = 2pil((-2cos2 + sin2) - (-1cos1 + sin1)r)
Portanto, simplificando, obtemos a expressão do volume.

Resposta

V = 2pil(cos1 -2cos2 + sin2 - sin1r)

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