Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os ( x, y ) tais que:
0 \leq x \leq e, 0 \leq y \leq 2 e y \geq \ln x

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo y, a região do plano
0 \le x \le e,\quad 0 \le y \le 2,\quad y \ge \ln x.
O conteúdo aqui é volume por método dos discos (ou anéis) em revolução. Vamos escrever, para cada \,y\in[0,2], o raio da seção circular resultante e integrar \pi[R(y)]^2 em y.

Passo 2

Para cada y\) a condição \(y\ge \ln x\) equivale a \(x\le e^y\), sempre respeitando \(x\le e\). Note que \(e^y\le e\) quando \(y\le1\), e \(e^y>e\) para \(y>1\). Logo: \[R(y)= \begin{cases} e^y, & 0\le y\le1,\\\ e, & 1< y\le2. \end{cases}
Esse R(y)\] é o raio da seção ao girar a região em torno do eixo \(y.

Passo 3

O volume é
V \;=\;\int_{0}^{2}\pi\bigl[R(y)\bigr]^{2}\,dy \;=\;\pi\int_{0}^{1}e^{2y}\,dy\;+\;\pi\int_{1}^{2}e^{2}\,dy.

Passo 4

Calcule o primeiro integral:
\int_{0}^{1}e^{2y}\,dy =\biggl[\frac{e^{2y}}{2}\biggr]_{0}^{1} =\frac{e^{2}-1}{2}.

Passo 5

Calcule o segundo integral:
\int_{1}^{2}e^{2}\,dy =e^{2}\,(2-1) =e^{2}.

Passo 6

Somando as duas parcelas:
V =\pi\Bigl(\frac{e^{2}-1}{2}+e^{2}\Bigr) =\pi\Bigl(\frac{e^{2}-1+2e^{2}}{2}\Bigr) =\frac{\pi\,(3e^{2}-1)}{2}.

Resposta

V = \frac{\pi\,(3e^{2}-1)}{2}.

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