Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos ( x ), da região ( R ) delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(y=\cos x, y=\operatorname{sec} x, x=0) e (x=\frac{\pi}{4})

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R limitada por \;y=\cos x,\;y=\operatorname{sec} x,\;x=0 e \;x=\tfrac{\pi}{4}.
Vamos usar o método dos discos com furo (washers), em que
V = \pi\int_{a}^{b}\Bigl[R(x)^2 - r(x)^2\Bigr]\,dx,
onde R(x) é o raio maior e r(x) o raio menor medidos até o eixo de rotação.

Passo 2

Na rotação em torno do eixo x, o raio maior é
\;R(x)=\operatorname{sec} x
e o raio menor é
\;r(x)=\cos x
com x variando de 0 a \tfrac{\pi}{4}.

Passo 3

Logo o volume é
V = \pi \int_{0}^{\pi/4}\Bigl[(\operatorname{sec} x)^2 - (\cos x)^2\Bigr]\,dx.

Passo 4

Calculemos separadamente cada integral.
Para \displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^2 x\,dx temos a primitiva \tan x, logo
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^2 x\,dx = \tan x\Big|_{0}^{\pi/4} = 1 - 0 = 1.

Passo 5

Para \displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\cos^2 x\,dx use \cos^2 x = \tfrac{1+\cos2x}{2}.
A primitiva é
\int\cos^2 x\,dx = \int\frac{1+\cos2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin2x}{4}.
Avaliada de 0 a \tfrac{\pi}{4}
\frac{\pi/4}{2} + \frac{\sin(\pi/2)}{4} = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}.

Passo 6

Subtraindo as duas integrais dentro do integrando,
\int_{0}^{\pi/4}\bigl[\operatorname{sec}^2 x - \cos^2 x\bigr]\,dx = 1 - \Bigl(\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4}\Bigr) = \frac{6-\pi}{8}.
Multiplicando por \pi, o volume final é
V = \pi \cdot \frac{6-\pi}{8} = \frac{\pi(6-\pi)}{8}.

Resposta

V = \frac{\pi\,(6 - \pi)}{8}.

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