Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos ( x ), da região ( R ) delimitada pelos gráficos das equações dadas.
(y=\cos x, y=\operatorname{sec} x, x=0) e (x=\frac{\pi}{4})
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R limitada por \;y=\cos x,\;y=\operatorname{sec} x,\;x=0 e \;x=\tfrac{\pi}{4}.
Vamos usar o método dos discos com furo (washers), em que
V = \pi\int_{a}^{b}\Bigl[R(x)^2 - r(x)^2\Bigr]\,dx,
onde R(x) é o raio maior e r(x) o raio menor medidos até o eixo de rotação.
Passo 2
Na rotação em torno do eixo x, o raio maior é
\;R(x)=\operatorname{sec} x
e o raio menor é
\;r(x)=\cos x
com x variando de 0 a \tfrac{\pi}{4}.
Passo 3
Logo o volume é
V = \pi \int_{0}^{\pi/4}\Bigl[(\operatorname{sec} x)^2 - (\cos x)^2\Bigr]\,dx.
Passo 4
Calculemos separadamente cada integral.
Para \displaystyle\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^2 x\,dx temos a primitiva \tan x, logo