Resolva os seguintes problemas, aplicando os conceitos de Séries de Taylor e Maclaurin. Mostre todos os cálculos intermediários e justifique suas respostas.
A função
é uma série de Maclaurin.
(a) Identifique qual função elementar
representa.
(b) Mostre que
é uma solução da equação diferencial
.
A função
(a) Identifique qual função elementar
(b) Mostre que
Passo 1
O enunciado fornece a série de Maclaurin
pede em (a) identificar a função elementar correspondente e em (b) mostrar que ela satisfaz a equação diferencial
O conteúdo aqui é reconhecimento de séries de Maclaurin de funções conhecidas e diferenciação termo a termo de séries de potências.
Passo 2
Reconhecemos que a expansão conhecida de
em série de Maclaurin é
Comparando com
, temos exatamente os mesmos termos, logo
Passo 3
Para mostrar que
satisfaz a equação
, vamos diferenciar termo a termo:
Primeiro,
Primeiro,
Em seguida,
Fazendo a mudança de índice
em
, obtemos
Passo 4
Da última igualdade segue imediatamente
mostrando que
é solução da equação diferencial proposta.
Resposta
(a)
.
(b) Diferenciando termo a termo obtém-se , logo
.
(b) Diferenciando termo a termo obtém-se