Resolva os seguintes problemas, aplicando os conceitos de Séries de Taylor e Maclaurin. Mostre todos os cálculos intermediários e justifique suas respostas.
A função f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n)!} é uma série de Maclaurin.
(a) Identifique qual função elementar f(x) representa.
(b) Mostre que f(x) é uma solução da equação diferencial f^{\prime \prime}(x)+ f(x)=0.

Passo 1

O enunciado fornece a série de Maclaurin
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!},
pede em (a) identificar a função elementar correspondente e em (b) mostrar que ela satisfaz a equação diferencial
f''(x)+f(x)=0.
O conteúdo aqui é reconhecimento de séries de Maclaurin de funções conhecidas e diferenciação termo a termo de séries de potências.

Passo 2

Reconhecemos que a expansão conhecida de \cos(x) em série de Maclaurin é
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}.
Comparando com f(x), temos exatamente os mesmos termos, logo
f(x)=\cos(x).

Passo 3

Para mostrar que f satisfaz a equação f''+f=0, vamos diferenciar termo a termo:
Primeiro,
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,(2n)\,x^{2n-1}}{(2n)!} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,x^{2n-1}}{(2n-1)!}.
Em seguida,
f''(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,(2n-1)\,x^{2n-2}}{(2n-1)!} =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\,x^{2n-2}}{(2n-2)!}.
Fazendo a mudança de índice m=n-1 em f'', obtemos
f''(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m+1}\,x^{2m}}{(2m)!} =-\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}\,x^{2m}}{(2m)!} =-f(x).

Passo 4

Da última igualdade segue imediatamente
f''(x)+f(x)=0,
mostrando que f é solução da equação diferencial proposta.

Resposta

(a) \displaystyle f(x)=\cos(x).
(b) Diferenciando termo a termo obtém-se f''(x)=-f(x), logo f''(x)+f(x)=0.

Exercícios relacionados