Sejam F(x)=integral1^e^x 1ln t d t e G(x)=integral0^x x e^-t^2 d t, x >= 0.
a) Calcule G^prime(x) e F^prime(x).
b) Existe lim x +infty G^prime(x) ? Se sim, é finito ou infinito? Justifique suas afirmações.

Passo 1

O enunciado define as funções
F(x)=integral1^e^x 1ln t,dt,
G(x)=integral0^x x,e^-t^2,dt, x>=0
Pede (a) as derivadas F'(x) e G'(x), e (b) o limite limxto+inftyG'(x). Vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, a regra da cadeia e a forma generalizada da regra de Leibniz para derivar integrais cujo integrando e/ou limite dependem de x.

Passo 2

Para G(x)=integral0^x x,e^-t^2,dt notamos que o integrando depende de x e o limite superior também. Pela regra de Leibniz temos
G'(x) = integral0^x partialpartial xl(x,e^-t^2r),dt + l[x,e^-x^2r]cdotddx(x) = integral0^x e^-t^2,dt + x,e^-x^2

Passo 3

Para F(x)=integral1^e^x 1ln t,dt aplicamos o Teorema Fundamental mais a regra da cadeia. Se h(x)=e^x e f(t)=1/ln t, então
F'(x) = fl(h(x)r),h'(x) = 1ln!l(e^xr)cdot e^x = e^xx

Passo 4

Queremos limxto+inftyG'(x). Como
integral0^xe^-t^2,dt;xrightarrow[xtoinfty];integral0^inftye^-t^2,dt =raizpi2,
e
x,e^-x^2;xrightarrow[xtoinfty];0,
segue que
G'(x) =integral0^xe^-t^2,dt + x,e^-x^2 ;xrightarrow[xtoinfty];raizpi2
Logo existe o limite e ele é finito.

Resposta

a) G'(x)=integral0^xe^-t^2,dt + x,e^-x^2, F'(x)=e^xx
b) Sim, limxto+inftyG'(x)=raizpi2, valor finito.

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