Em cada caso, calcule a área da região do plano delimitada pelas curvas indicadas: e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região no plano que está delimitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração, para achar a área entre essas curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais dessas curvas estão acima ou abaixo no intervalo de até . Isso ajuda a saber qual função vai subtrair a outra na hora de integrar.
Passo 3
Vamos comparar e nesse intervalo. Sabemos que é uma função exponencial que cresce rapidamente, enquanto oscila entre -1 e 1. Na verdade, para entre e :
Para , e varia entre -1 e 0.
Para , e .
Para , cresce acima de 1, enquanto fica entre 0 e 1.
Então, sempre está acima de nesse intervalo.
Passo 4
Agora, para achar a área da região , vamos integrar a diferença entre as duas funções de até :
Passo 5
Vamos calcular essa integral:
integral-pi^pi sin x , dx = -cos x |-pi^pi = -cos pi + cos (-pi) = -(-1) + (-1) = 1 - 1 = 0