Em cada caso, calcule a área da região D do plano x y delimitada pelas curvas indicadas:
y=e^x, y=sin x, x=pi, e x=-pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região no plano que está delimitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente integração, para achar a área entre essas curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais dessas curvas estão acima ou abaixo no intervalo de até . Isso ajuda a saber qual função vai subtrair a outra na hora de integrar.

Passo 3

Vamos comparar e nesse intervalo. Sabemos que é uma função exponencial que cresce rapidamente, enquanto oscila entre -1 e 1. Na verdade, para entre e :
  • Para , e varia entre -1 e 0.
  • Para , e .
  • Para , cresce acima de 1, enquanto fica entre 0 e 1.
Então, sempre está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Agora, para achar a área da região Área = integral-pi^pi ( e^x - sin x ) dx , vamos integrar a diferença entre as duas funções de até :
Á

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
integral-pi^pi e^x dx = e^x |-pi^pi = e^pi - e^-pi
integral-pi^pi sin x , dx = -cos x |-pi^pi = -cos pi + cos (-pi) = -(-1) + (-1) = 1 - 1 = 0
Então, a área fica:
Área = (e^pi - e^-pi) - 0 = e^pi - e^-pi Á

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

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