(a) nabla(alpha f+beta g)=alpha nabla f+beta nabla g
(b) nabla(f g)=f nabla g+g nabla f
© nabla f^n=n f^n-1 nabla f, para n inteiro >= 1.

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove três propriedades do operador gradiente: linearidade, regra do produto e regra da potência. Vamos usar a definição do gradiente em termos de derivadas parciais e a regra básica de derivação para cada caso.

Passo 2

Definição que vamos usar: para uma função escalar f(x1,dots,xn), seu gradiente é
nabla f=l(partial fpartial x1,dots,partial fpartial xnr)
(a) Provar nabla(alpha f+beta g)=alphanabla f+betanabla g.
Cada componente do gradiente é
partialpartial xi(alpha f+beta g)=alphapartial fpartial xi+betapartial gpartial xi
Juntando essas componentes, obtemos
nabla(alpha f+beta g)=alphanabla f+betanabla g

Passo 3

(b) Provar nabla(fg)=fnabla g+gnabla f. Pela regra do produto em cada derivada parcial,
partialpartial xi(f g)=fpartial gpartial xi+gpartial fpartial xi
Agrupando em vetor, dá exatamente
nabla(fg)=fnabla g+gnabla f

Passo 4

© Provar nabla(f^n)=n f^n-1nabla f, com n inteiro positivo. Usamos a regra da potência em cada componente:
partialpartial xi(f^n)=n f^n-1partial fpartial xi
Isso implica diretamente
nabla(f^n)=n f^n-1nabla f

Resposta

As três propriedades ficam:
  • nabla(alpha f+beta g)=alphanabla f+betanabla g
  • nabla(fg)=fnabla g+gnabla f
  • nabla(f^n)=n f^n-1nabla f

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