(a)
(b)
©
, para
inteiro
.
(b)
©
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove três propriedades do operador gradiente: linearidade, regra do produto e regra da potência. Vamos usar a definição do gradiente em termos de derivadas parciais e a regra básica de derivação para cada caso.
Passo 2
Definição que vamos usar: para uma função escalar
, seu gradiente é
(a) Provar
.
Cada componente do gradiente é
Cada componente do gradiente é
Juntando essas componentes, obtemos
Passo 3
(b) Provar
. Pela regra do produto em cada derivada parcial,
Agrupando em vetor, dá exatamente
Passo 4
© Provar
, com
inteiro positivo. Usamos a regra da potência em cada componente:
Isso implica diretamente
Resposta
As três propriedades ficam: