Calcule o volume do sólido que está no primeiro octante e é delimitado pelos três planos coordenados e pelos cilindros
e
. Resposta: 18
Passo 1
O problema pede o volume do sólido no primeiro octante (ou seja, 0 ≤ x, y, z) limitado pelos planos coordenados e pelos cilindros x²+y²=9 e y²+z²=9. O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla, e vamos precisar configurar a integral usando os limites dados por esses cilindros.
Passo 2
Como 0 ≤ y ≤ 3 (pois y²≤9), para cada y fixo os pontos (x,z) satisfazem x²+y² ≤ 9 e y²+z² ≤ 9. Isso implica 0 ≤ x ≤ √(9−y²) e 0 ≤ z ≤ √(9−y²). Assim obtemos a região de integração.
Passo 3
Escrevemos a integral tripla para o volume:
$$V =
\int_{y=0}^{3} \int_{x=0}{\sqrt{9-y2}} \int_{z=0}{\sqrt{9-y2}} dz,dx,dy.$$
Aqui, para cada y, integramos primeiro em z (até √(9−y²)) e depois em x (até √(9−y²)).
Aqui, para cada y, integramos primeiro em z (até √(9−y²)) e depois em x (até √(9−y²)).
Passo 4
Calculamos as integrais internas:
Para z: .
Para x:
Portanto ficamos com
Para z:
Para x:
Portanto ficamos com
Integrando:
Passo 5
O volume do sólido no primeiro octante é 18.
Resposta
18