Calcule o volume do sólido que está no primeiro octante e é delimitado pelos três planos coordenados e pelos cilindros x^2+y^2=9 e y^2+z^2=9. Resposta: 18

Passo 1

O problema pede o volume do sólido no primeiro octante (ou seja, 0 ≤ x, y, z) limitado pelos planos coordenados e pelos cilindros x²+y²=9 e y²+z²=9. O conteúdo é cálculo de volume por integração tripla, e vamos precisar configurar a integral usando os limites dados por esses cilindros.

Passo 2

Como 0 ≤ y ≤ 3 (pois y²≤9), para cada y fixo os pontos (x,z) satisfazem x²+y² ≤ 9 e y²+z² ≤ 9. Isso implica 0 ≤ x ≤ √(9−y²) e 0 ≤ z ≤ √(9−y²). Assim obtemos a região de integração.

Passo 3

Escrevemos a integral tripla para o volume:
$$V =
\int_{y=0}^{3} \int_{x=0}{\sqrt{9-y2}} \int_{z=0}{\sqrt{9-y2}} dz,dx,dy.$$
Aqui, para cada y, integramos primeiro em z (até √(9−y²)) e depois em x (até √(9−y²)).

Passo 4

Calculamos as integrais internas:
Para z: integral0^raiz9-y^2 dz = raiz9-y^2.
Para x: integral0^raiz9-y^2 raiz9-y^2,dx = (raiz9-y^2)cdot(raiz9-y^2) = 9-y^2
Portanto ficamos com
V = integral0^3 (9 - y^2) ,dy
Integrando:
integral0^3 (9 - y^2) ,dy = l[9y - tfracy^33r]0^3 = (27 - 9) - 0 = 18

Passo 5

O volume do sólido no primeiro octante é 18.

Resposta

18

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