Esboce a região delimitada pelos gráficos das equações dadas e ache a sua área utilizando uma ou mais integrais duplas:
y=e^x, y=sin x, x=-pi, x=pi Resposta: e^pi-e^-pi

Passo 1

Aqui a gente quer a área da região limitada pelas curvas y=e^x, y=sin x e as retas verticais x=-pi e x=pi. O conteúdo envolve área entre duas curvas usando integral definida.

Passo 2

Precisamos entender quem é a curva de cima e quem é a de baixo em [-pi,pi]. Como e^x>0 para todo x e sin x<=1 nesse intervalo, vale que e^x>sin x para todo xin[-pi,pi].
Portanto, a área pedida é dada por subtrair a curva inferior da superior e integrar em [-pi,pi]. Temos
A=integral-pi^pil(e^x-sin xr),dx

Passo 3

Chegando na parte do cálculo, lembramos que
integral e^x,dx=e^xeintegralsin x,dx=-cos x

Passo 4

Então
A=l[e^x+cos xr]-pi^pi

Passo 5

Substituindo os limites:
A=(e^pi+cospi)-(e^-pi+cos(-pi))=e^pi-e^-pi

Resposta

e{\pi}-e{-\pi}

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