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f(x)=1x^2-9
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Assíntotas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{1}{x^{2} - 9} $ e precisamos encontrar as assíntotas dela. Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Para achar elas, vamos precisar entender onde a função pode “explode” ou se aproximar de um valor fixo quando $ x $ vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da fração é zero, porque aí a função fica indefinida (divisão por zero não existe). Então, vamos resolver $ x^{2} - 9 = 0 $:
x^2 - 9 = 0
Isso significa que temos duas assíntotas verticais em $ x = 3 $ e $ x = -3 $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal. Ela indica para onde a função se aproxima quando $ x $ vai para mais ou menos infinito. Olhando para a função $ f(x) = \frac{1}{x^{2} - 9} $, quando $ x $ fica muito grande (positivo ou negativo), $ x^{2} $ domina e o termo $ -9 $ fica quase desprezível. Então, a função se comporta como:
x
E sabemos que $ \frac{1}{x^{2}} $ tende a 0 quando $ x $ vai para $ \pm \infty $. Portanto, a assíntota horizontal é $ y = 0 $.

Resposta

As assíntotas da função $ f(x) = \frac{1}{x^{2} - 9} $ são:
  • Assíntotas Verticais: $ x = 3 $ e $ x = -3 $
  • Assíntota Horizontal: $ y = 0 $

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