Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa inverter a ordem de integração da integral dupla dada e depois calcular o resultado. O conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender como identificar os limites de integração e como rearranjá-los corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral original é:
Aqui, y varia de 0 a 2, e para cada y, x varia de
a 4. Vamos desenhar isso no plano xy para visualizar melhor.
Passo 3
No plano xy, temos y indo de 0 a 2. Para cada y, x começa em
e vai até 4. Isso forma uma região onde a curva
está à esquerda de x = 4. Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar y em termos de x.
Passo 4
Vamos achar os novos limites para y quando x está fixo. Observando a curva
, podemos resolver para y:
. Então, para um dado x entre 0 e 4, y varia de 0 a
.
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a y. A integral de
em relação a y é:
Passo 7
Calculando a integral de y:
Passo 8
Substituindo de volta na integral principal:
Passo 9
Agora, vamos resolver a integral
. Fazemos uma substituição: deixe
, então
, ou seja,
.
Passo 10
Substituindo na integral:
Passo 11
Integrando
: