Inverta a ordem de integração e calcule a integral resultante.
integral0^2 integraly^2^4 y cos (x^2) d x d y Resposta: 1 / 4 sin 16

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa inverter a ordem de integração da integral dupla dada e depois calcular o resultado. O conteúdo que vamos usar aqui é de Cálculo Integral, especificamente sobre integrais duplas e mudança de ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender como identificar os limites de integração e como rearranjá-los corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. A integral original é:
integral0^2 integraly^2^4 y cos (x^2) dx dy
Aqui, y varia de 0 a 2, e para cada y, x varia de y^2 a 4. Vamos desenhar isso no plano xy para visualizar melhor.

Passo 3

No plano xy, temos y indo de 0 a 2. Para cada y, x começa em y^2 e vai até 4. Isso forma uma região onde a curva x = y^2 está à esquerda de x = 4. Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar y em termos de x.

Passo 4

Vamos achar os novos limites para y quando x está fixo. Observando a curva x = y^2, podemos resolver para y: y = raizx. Então, para um dado x entre 0 e 4, y varia de 0 a raizx.

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral com a ordem de integração invertida:
integral0^4 integral0^raizx y cos (x^2) dy dx

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a y. A integral de y cos(x^2) em relação a y é:
integral0^raizx y cos(x^2) dy = cos(x^2) integral0^raizx y , dy

Passo 7

Calculando a integral de y:
integral0^raizx y , dy = [ y^22 ]0^raizx = (raizx)^22 - 0 = x2

Passo 8

Substituindo de volta na integral principal:
integral0^4 x2 cos(x^2) dx = 12 integral0^4 x cos(x^2) dx

Passo 9

Agora, vamos resolver a integral integral x cos(x^2) dx. Fazemos uma substituição: deixe u = x^2, então du = 2x dx, ou seja, x dx = du2.

Passo 10

Substituindo na integral:
12 integral0^4 x cos(x^2) dx = 12 cdot 12 integral0^16 cos(u) du = 14 integral0^16 cos(u) du

Passo 11

Integrando cos(u):
14 [ sin(u) ]0^16 = 14 (sin(16) - sin(0)) = 14 sin(16)

Resposta

14 sin(16)

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