Calcule o volume do sólido de revolução em cada caso:
A região limitada pelos gráficos das funções y=1 e y=raizcos (x) e pelas retas verticais x=-pi2 e x=pi2 rotacionada em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por
;y=1, ;y=raizcos x e pelas retas verticais ;x=-tfracpi2 e ;x=tfracpi2.
Conteúdo: cálculo de volume por método dos anéis (discos com furo). Vamos usar a fórmula
V = integrala^b pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx

Passo 2

Identificamos os “raios” em cada x:
– Raio externo R(x)=1.
– Raio interno r(x)=raizcos x.
Note que cos x>=0 em l[-tfracpi2,tfracpi2r], então raizcos x está bem definida nesse intervalo.

Passo 3

Aplicando a fórmula do volume:
V = integral-pi/2^pi/2 pil[1^2 - (raizcos x)^2r],dx = pi integral-pi/2^pi/2 l(1 - cos xr),dx

Passo 4

Calculemos a integral
integrall(1 - cos xr),dx = x - sin x
Avaliando de -tfracpi2 a tfracpi2:
l[x - sin xr]-pi/2^pi/2 = l(tfracpi2 - 1r) - l(-tfracpi2 + 1r) = pi - 2

Passo 5

Multiplicando pelo fator pi do volume:
V = pil(pi - 2r) = pi^2 - 2pi

Resposta

V = pi(pi - 2)

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