Calcule o volume do sólido de revolução em cada caso:
A região limitada pelos gráficos das funções y=sec (x) e y=tan (x) e pelas retas verticais x=0 e x=1 rotacionada em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada por ,y=sec(x), ,y=tan(x) e as retas x=0 e x=1. O conteúdo necessário é o método das cascas ou, aqui mais direto, o método dos discos (anéis), usando a fórmula
V = pi integrala^b l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx,
onde R(x) é o raio externo e r(x) o raio interno do anel.

Passo 2

Para cada xin[0,1], o perfil da região tem fronteira superior em ,y=sec(x) (raio externo) e fronteira inferior em ,y=tan(x) (raio interno). Logo,
R(x)=sec(x), r(x)=tan(x),
e o volume é
V = pi integral0^1 l[sec^2(x) - tan^2(x)r],dx

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica fundamental
sec^2(x) - tan^2(x) = 1
Assim o integrando simplifica para 1, e
V = pi integral0^1 1,dx = pil[xr]0^1 = picdot(1 - 0) = pi

Resposta

V = pi

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