Uma partícula se desloca sobre o eixo chi de acordo com uma função posição x=x(t). Sendo v(t)=x^prime(t) a função velocidade da partícula e a(t)= chi^prime prime(t) a função aceleração da partícula, determine chi= x(t) nos casos abaixo:
a(t)=3 t, v(0)=1 e x(0)=8

Passo 1

O enunciado nos dá a aceleração da partícula como
,a(t)=3t
e as condições iniciais
,v(0)=1 e ,x(0)=8.
Estamos diante de uma equação diferencial de segunda ordem
,x''(t)=a(t),
que vamos resolver por integração sucessiva.

Passo 2

Integramos a aceleração para obter a velocidade:
v(t)=integral a(t),dt=integral 3t,dt=32t^2+C1
Usando a condição inicial ,v(0)=1, temos
1=v(0)=32cdot0^2+C1Longrightarrow C1=1
Logo
v(t)=32t^2+1

Passo 3

Agora integramos v(t) para encontrar x(t):
x(t)=integral v(t),dt=integrall(32t^2+1r)dt =32cdott^33+t+C2 =12t^3+t+C2
Aplicando x(0)=8, obtemos
8=x(0)=12cdot0^3+0+C2Longrightarrow C2=8
Portanto
x(t)=12t^3+t+8

Resposta

x(t)=12t^3+t+8

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