Considere a função diferenciável
e as funções
e
. Sabendo que
e
, determine
e
, onde
.
45. Suponha que
e
diferenciável em
. Sejam
e
. Mostre que
45. Suponha que
Passo 1
No primeiro problema, temos a composição
com
e sabemos que
e
.
Vamos usar a regra da cadeia para calcular
e
em
.
Vamos usar a regra da cadeia para calcular
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia para
, temos
Calculamos
Passo 3
Em
temos
e
, logo
Além disso
, onde
e
. Portanto
Passo 4
De modo análogo, para
:
Calculamos
Em
valem
e
,
. Logo
e assim
Passo 5
No segundo problema, definimos
e os vetores unitários
Queremos mostrar que
Passo 6
Pela regra da cadeia,
Passo 7
Note que
e
Resposta
Para
:
Para
, mostramos que