Considere a função diferenciável f(x, y) e as funções x(u, v)=v cos (pi+u)+e^u v e y(u, v)=u^2+v^2. Sabendo que partial fpartial x(-1,4)=3 e partial fpartial y(-1,4)=2, determine partial Fpartial u(0,2) e partial Fpartial v(0,2), onde F(u, v)=f(x(u, v), y(u, v)).
45. Suponha que g(r, theta)=f(x, y), com x=r cos theta e y=r sen theta, com f(x, y) diferenciável em R^2. Sejam u=cos theta i+sen theta j e v=-sen theta i+cos theta j. Mostre que
partial gpartial r(r, theta)=partial fpartial u(x, y) e 1r partial gpartial theta(r, theta)=partial fpartial v(x, y)

Passo 1

No primeiro problema, temos a composição
F(u,v)=fl(x(u,v),,y(u,v)r),
com
x(u,v)=vcos(pi+u)+e^uv, y(u,v)=u^2+v^2,
e sabemos que
fx(-1,4)=3 e fy(-1,4)=2.
Vamos usar a regra da cadeia para calcular
partial Fpartial u e partial Fpartial v em (u,v)=(0,2).

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para partial Fpartial u, temos
partial Fpartial u = fx,partial xpartial u + fy,partial ypartial u
Calculamos
partial xpartial u = vl[-sin(pi+u)r] + v,e^uv = v,sin(u) + v,e^uv,
partial ypartial u = 2u

Passo 3

Em (u,v)=(0,2) temos
sin(0)=0 e e^0=1, logo
partial xpartial u(0,2) = 2cdot0 + 2cdot1 = 2, partial ypartial u(0,2) = 2cdot0 = 0
Além disso (x(0,2),y(0,2))=(-1,4), onde fx=3 e fy=2. Portanto
partial Fpartial u(0,2) = 3cdot2 + 2cdot0 = 6

Passo 4

De modo análogo, para partial Fpartial v:
partial Fpartial v = fx,partial xpartial v + fy,partial ypartial v
Calculamos
partial xpartial v = cos(pi+u) + u,e^uv, partial ypartial v = 2v
Em (0,2) valem cos(pi)=-1 e u,e^uv=0, 2v=4. Logo
partial xpartial v(0,2)=-1, partial ypartial v(0,2)=4,
e assim
partial Fpartial v(0,2) = 3cdot(-1) + 2cdot4 = -3 + 8 = 5

Passo 5

No segundo problema, definimos
g(r,theta)=fl(rcostheta,,rsinthetar)
e os vetores unitários
u=(costheta,sintheta), v=(-sintheta,costheta)
Queremos mostrar que
partial gpartial r(r,theta) = partial fpartial u(x,y), 1rpartial gpartial theta(r,theta) = partial fpartial v(x,y)

Passo 6

Pela regra da cadeia,
partial gpartial r = fxcdotpartial (rcostheta)partial r + fycdotpartial (rsintheta)partial r = fxcostheta + fysintheta,
partial gpartial theta = fxcdotl(-rsinthetar) + fycdotl(rcosthetar) = -r,fxsintheta + r,fycostheta

Passo 7

Note que
nabla fcdot u = fxcostheta + fysintheta Longrightarrow partial gpartial r = nabla fcdot u = partial fpartial u,
e
nabla fcdot v = fx(-sintheta) + fycostheta Longrightarrow 1rpartial gpartial theta = 1rl(r,nabla fcdot vr) = nabla fcdot v = partial fpartial v

Resposta

Para F(u,v)=fl(x(u,v),y(u,v)r):
partial Fpartial u(0,2)=6, partial Fpartial v(0,2)=5
Para g(r,theta)=f(rcostheta,rsintheta), mostramos que
partial gpartial r(r,theta) =partial fpartial u(x,y), 1rpartial gpartial theta(r,theta) =partial fpartial v(x,y)

Exercícios relacionados