Calcule o volume do sólido de revolução em cada caso:
R=(x, y) in R^2 mid 0 <= x <= raizcos (pi y / 4),-2 <= y <= 0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região
R = l(x,y)inR^2 mid 0 <= x <= raizcosl(tfracpi y4r),;-2<= y<=0r
Aqui vamos usar o método dos discos (fatias horizontais) porque para cada y fixo a região vai de x=0 até x=raizcos(pi y/4).

Passo 2

Ao girar em torno do eixo y, cada fatia em y gera um disco de raio
Rout(y) ;=; raizcos!l(tfracpi y4r),
e de raio interno zero. O volume do sólido é
V ;=; integraly=-2^0 pil[Rout(y)r]^2,dy ;=; piintegral-2^0cos!l(tfracpi y4r),dy

Passo 3

Para calcular o integral, note que
integralcos!l(tfracpi y4r),dy = 4pi,sin!l(tfracpi y4r)
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integral-2^0cos!l(tfracpi y4r),dy = 4pil[sin!l(tfracpi y4r)r]y=-2^y=0 = 4pil(sin0-sin(-tfracpi2)r) = 4pil(0-(-1)r) = 4pi
Portanto
V = pi cdot 4pi = 4

Resposta

O volume do sólido de revolução é 4.

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