Calcule o volume do sólido de revolução das curvas dadas abaixo
(a) y=e^x, y=0, x=-1, x=1; em torno do eixo x
(b) y=ln x, y=1, y=2, x=0; em torno do eixo y
© y=14 x^2, x=2, y=0, em torno do eixo y
(d) y=sen x, y=cos x, 0 <= x <= pi / 4; em torno de y=-1
(e) y=x^3, y=8, x=0 ; em torno de x=3

Passo 1

O exercício pede o cálculo de cinco volumes de sólidos de revolução usando cálculo integral. Vamos aplicar dois métodos principais: o método dos discos/arruelas (quando giramos em torno de um eixo horizontal ou vertical e usamos seções circulares) e o método das cascas cilíndricas (quando usamos tiras paralelas ao eixo de rotação). As fórmulas são:
Para discos/arruelas:
V=piintegral (R^2 - r^2),d(variável)á
Para cascas:
V=2piintegral (raio),(aá

Passo 2

Para o item (a), giramos em torno do eixo x. A seção transversal é um disco de raio R(x)=y=e^x.
Va=piintegral-1^1(e^x)^2,dx=piintegral-1^1e^2x,dx=pil[tfrace^2x2r]-1^1=tfracpi2l(e^2-e^-2r)

Passo 3

No item (b), giramos em torno do eixo y. Reescrevendo y=ln x como x=e^y, a região vai de y=1 a y=2 e forma arruelas com raio externo R(y)=e^y e interno zero.
Vb=piintegral1^2(e^y)^2,dy=piintegral1^2e^2y,dy=pil[tfrace^2y2r]1^2=tfracpi2l(e^4-e^2r)

Passo 4

No item ©, giramos em torno do eixo y. Usamos o método das cascas cilíndricas com tiras verticais xin[0,2]. O raio é x e a altura é y=tfracx^24.
Vc=2piintegral0^2xcdottfracx^24,dx=tfracpi2integral0^2x^3,dx=tfracpi2l[tfracx^44r]0^2=2pi

Passo 5

No item (d), giramos em torno de y=-1. Entre x=0 e x=pi/4, a curva superior é y=cos x e a inferior é y=sin x. As arruelas têm raio externo R=cos x+1 e interno r=sin x+1.
Vd=piintegral0^pi/4l[(cos x+1)^2-(sin x+1)^2r]dx=piintegral0^pi/4l(cos2x+2(cos x-sin x)r)dx
Avaliando dá
Vd=tfracpi2(4raiz2-3)

Passo 6

No item (e), giramos em torno de x=3. A região é entre y=x^3 e y=8, para xin[0,2]. Usamos cascas: o raio é 3-x e a altura é 8-x^3.
Ve=2piintegral0^2(3-x)(8-x^3),dx=2picdottfrac1325=tfrac264pi5

Resposta

a) tfracpi2(e^2-e^-2); b) tfracpi2(e^4-e^2); c) 2pi; d) tfracpi2(4raiz2-3); e) tfrac264pi5.

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