Calcule o volume do sólido de revolução das curvas dadas abaixo
(a)
; em torno do eixo
(b)
; em torno do eixo
©
, em torno do eixo
(d)
; em torno de
(e)
em torno de
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
O exercício pede o cálculo de cinco volumes de sólidos de revolução usando cálculo integral. Vamos aplicar dois métodos principais: o método dos discos/arruelas (quando giramos em torno de um eixo horizontal ou vertical e usamos seções circulares) e o método das cascas cilíndricas (quando usamos tiras paralelas ao eixo de rotação). As fórmulas são:
Para discos/arruelas:
Para cascas:
Passo 2
Para o item (a), giramos em torno do eixo
. A seção transversal é um disco de raio
.
Passo 3
No item (b), giramos em torno do eixo
. Reescrevendo
como
, a região vai de
a
e forma arruelas com raio externo
e interno zero.
Passo 4
No item ©, giramos em torno do eixo
. Usamos o método das cascas cilíndricas com tiras verticais
. O raio é
e a altura é
.
Passo 5
No item (d), giramos em torno de
. Entre
e
, a curva superior é
e a inferior é
. As arruelas têm raio externo
e interno
.
Avaliando dá
Passo 6
No item (e), giramos em torno de
. A região é entre
e
, para
. Usamos cascas: o raio é
e a altura é
.
Resposta
a)
; b)
; c)
; d)
; e)
.