Temos derivadas de integrais de funções com limites que dependem de uma variável (x, t ou θ), e precisamos calculá-las de duas formas: (1) calcular a integral definida e depois derivar o resultado; (2) aplicar diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). O conteúdo principal envolve TFC e regras básicas de integração e diferenciação.
Passo 2
Método 1: para uma integral , encontramos uma primitiva $F(t)$ de $f(t)$, avaliamos $F(b(x)) - F(a)$ e depois derivamos o resultado usando regra da cadeia quando necessário. Método 2 (TFC): para $\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt$ vale a fórmula \(
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f(b(x)),b’(x) - f(a(x)),a’(x).\
)
Passo 3
(a) : Método 1: a primitiva de é , então (ignoramos a constante divergente), e derivando dá . Método 2: pelo TFC direta, limite inferior fixo e , logo .
Passo 4
(b) : Método 1: primitiva de é , então . Derivando vem . Método 2: TFC dá
(d) : Método 1: primitiva de é , então . Derivando dá . Método 2: TFC dá
Passo 7
(e) : Método 1: primitiva de é , então . Derivando dá . Método 2: TFC dá
Passo 8
(f) : Método 1: primitiva de é , logo . Derivando dá . Método 2: TFC dá
Passo 9
(g) : Método 1: primitiva de é , então . Derivando dá . Método 2: TFC dá
Passo 10
(h) : Podemos trocar os limites com sinal: . Derivando dá -1. Pelo TFC: 0'cdot f(0) - (tantheta)'cdot f(tantheta) = -sec^2theta/(1+tan^2theta) = -1
Passo 11
(i) ddthetaintegral2^raizthetal(x^4+3raiz1-x^2r),dx: Método 1: primitiva de x^4 é x^5/5 e de 3/raiz1-x^2 é 3arcsin x, então tfrac(raiztheta)^55+3arcsin(raiztheta)-Const. Derivando dá $\frac{\theta^{3/2}}{2} + \frac{3}{2\sqrt{\theta}\sqrt{1-\theta}}$. Método 2: TFC dá \(
\bigl((\sqrt\theta)^4 + \tfrac{3}{\sqrt{1-(\sqrt\theta)^2}}\bigr)\cdot(\sqrt\theta)’ = \Bigl(\theta^2 + \frac{3}{\sqrt{1-\theta}}\Bigr)\cdot\frac{1}{2\sqrt\theta} = \frac{\theta^{3/2}}{2} + \frac{3}{2\sqrt{\theta}\sqrt{1-\theta}}.\
)