Determine cada derivada abaixo usando os dois métodos abaixo
  • Calculando a integral e depois derivando o resultado
  • Derivando a integral diretamente (TFC)
    (a) dd x integral0^x 1t d t
    (d) dd t integral3^t^4 raizs d s
    (g) dd theta integral0^tan theta sec ^2 y d y
    (b) dd x integralpi^raizx cos t d t
    (e) dd t integral1^e^t^3 1raizx d x
    (h) dd theta integraltan theta^0 d u1+u^2
    © dd x integral1^sen x 3 u^2 d u
    (f) dd t integralpi^t^3 e^-x d x
    (i) dd theta integral2^raiztheta(x^4+3raiz1-x^2) d x

Passo 1

Temos derivadas de integrais de funções com limites que dependem de uma variável (x, t ou θ), e precisamos calculá-las de duas formas: (1) calcular a integral definida e depois derivar o resultado; (2) aplicar diretamente o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). O conteúdo principal envolve TFC e regras básicas de integração e diferenciação.

Passo 2

Método 1: para uma integral F(t), encontramos uma primitiva $F(t)$ de $f(t)$, avaliamos $F(b(x)) - F(a)$ e depois derivamos o resultado usando regra da cadeia quando necessário. Método 2 (TFC): para $\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt$ vale a fórmula \(
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt = f(b(x)),b’(x) - f(a(x)),a’(x).\
)

Passo 3

(a) ddxintegral0^x1t,dt: Método 1: a primitiva de 1/t é ln|t|, então integral0^x1/t,dt = ln|x| + C (ignoramos a constante divergente), e derivando ln|x| 1/x. Método 2: pelo TFC direta, limite inferior fixo e f(x)=1/x, logo f(x)cdot1 = 1/x.

Passo 4

(b) ddxintegralpi^raizxcos t,dt: Método 1: primitiva de cos t é sin t, então integralpi^raizxcos t = sin(raizx) - sinpi = sin(raizx). Derivando sin(raizx) vem cos(raizx)cdot12raizx. Método 2: TFC dá cos(raizx)cdot (raizx)' = cos(raizx)cdot12raizx

Passo 5

© ddxintegral1^sin x3u^2,du: Método 1: primitiva de 3u^2 é u^3, logo sin^3 x - 1. Derivando vem 3sin^2 xcos x. Método 2: TFC dá 3(sin x)^2cdot(sin x)' = 3sin^2 xcos x

Passo 6

(d) ddtintegral3^t^4raizs,ds: Método 1: primitiva de raizs é tfrac23s^3/2, então tfrac23(t^4)^3/2 - C = tfrac23t^6 + Const. Derivando tfrac23t^6 4t^5. Método 2: TFC dá raizt^4cdot4t^3 = t^2cdot4t^3 = 4t^5

Passo 7

(e) ddtintegral1^e^t^31raizx,dx: Método 1: primitiva de x^-1/2 é 2raizx, então 2raize^t^3 - 2 = 2e^t^3/2 + Const. Derivando dá 2cdot e^t^3/2cdot3t^22 = 3t^2 e^t^3/2. Método 2: TFC dá 1raize^t^3cdot (e^t^3)' = e^-t^3/2cdot e^t^3cdot3t^2 = 3t^2 e^t^3/2

Passo 8

(f) ddtintegralpi^t^3e^-x,dx: Método 1: primitiva de e^-x é -e^-x, logo -e^-t^3 + e^-pi. Derivando -e^-t^3 -(-3t^2 e^-t^3)) = 3t^2 e^-t^3. Método 2: TFC dá e^-t^3cdot3t^2

Passo 9

(g) ddthetaintegral0^tanthetasec^2y,dy: Método 1: primitiva de sec^2 y é tan y, então tan(tantheta). Derivando dá sec^2(tantheta)cdotsec^2theta. Método 2: TFC dá sec^2(tantheta)cdot(tantheta)' = sec^2(tantheta)sec^2theta

Passo 10

(h) ddthetaintegraltantheta^0du1+u^2: Podemos trocar os limites com sinal: -integral0^tanthetadu1+u^2 = -arctan(u)|0^tantheta = -theta. Derivando dá -1. Pelo TFC: 0'cdot f(0) - (tantheta)'cdot f(tantheta) = -sec^2theta/(1+tan^2theta) = -1

Passo 11

(i) ddthetaintegral2^raizthetal(x^4+3raiz1-x^2r),dx: Método 1: primitiva de x^4 é x^5/5 e de 3/raiz1-x^2 é 3arcsin x, então tfrac(raiztheta)^55+3arcsin(raiztheta)-Const. Derivando dá $\frac{\theta^{3/2}}{2} + \frac{3}{2\sqrt{\theta}\sqrt{1-\theta}}$. Método 2: TFC dá \(
\bigl((\sqrt\theta)^4 + \tfrac{3}{\sqrt{1-(\sqrt\theta)^2}}\bigr)\cdot(\sqrt\theta)’ = \Bigl(\theta^2 + \frac{3}{\sqrt{1-\theta}}\Bigr)\cdot\frac{1}{2\sqrt\theta} = \frac{\theta^{3/2}}{2} + \frac{3}{2\sqrt{\theta}\sqrt{1-\theta}}.\
)

Resposta

(a) 1x; (b) cos(raizx)2raizx; © 3sin^2(x)cos(x); (d) 4t^5; (e) 3t^2e^t^3/2; (f) 3t^2e^-t^3; (g) sec^2(tantheta)sec^2theta; (h) -1; (i) theta^3/22 + 32raizthetaraiz1-theta.

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