Resolva cada integral indefinida abaixo fazendo a substituição indicada
(a) integral x e^-x^2 d x, u=-x^2
(g) integral 2 t(t^2+5)^-4 d t, u=t^2+5
(b) integral x^2 raizx^3+1 d x, u=x^3+1
(h) integral d traiz5 t+8, u=raiz5 t+8
© integral cos (2 x) d x, u=2 x
(i) integral sen^2 theta cos theta d theta, u=sen theta
(d) integral 1x^2 cos ^2(1x) d x, u=-1x
(j) integral theta sen(2 theta^2) d theta, u=2 theta^2
(e) integral t^3t^4-5 d t, u=t^4-5
(k) integral cossec^2(2 theta) cotg(2 theta) d theta, u=cotg theta
(f) integral raiz2 t+1 d t, u=2 t+1

Passo 1

Temos 11 integrais indefinidas para resolver usando a técnica de substituição. A ideia geral é escolher uma função interna u, calcular du, reescrever o integrando em termos de u e du, integrar em u e depois voltar à variável original.

Passo 2

Para (a) integral x e^-x^2,dx com u=-x^2. Temos du=-2x,dx, logo x,dx=-tfrac12 du. A integral vira integral e^u(-tfrac12 du)=-tfrac12 e^u+C=-tfrac12 e^-x^2+C.
Para (b) integral x^2raizx^3+1,dx com u=x^3+1. Temos du=3x^2,dx, logo x^2,dx=tfrac13 du. A integral é tfrac13integral u^1/2du=tfrac13cdottfracu^3/23/2+C=tfrac29u^3/2+C=tfrac29(x^3+1)^3/2+C.
Para © integral cos(2x),dx com u=2x. Então du=2,dx, logo dx=tfrac12du. A integral é tfrac12integralcos u,du=tfrac12sin u+C=tfrac12sin(2x)+C.
Para (d) integral 1x^2cos^2l(tfrac1xr)dx com u=-tfrac1x. Então du=1x^2dx. A integral fica integral cos^2u,du. Sabendo que integralcos^2u,du=tfracu+sin ucos u2+C, substituímos u=-tfrac1x e obtemos tfrac12l(-tfrac1x+sinl(tfrac1xr)cosl(tfrac1xr)r)+C.
Para (e) integral t^3t^4-5,dt com u=t^4-5. Então du=4t^3dt, logo t^3dt=tfrac14du. A integral é tfrac14integral u^-1du=tfrac14ln|u|+C=tfrac14ln|t^4-5|+C.
Para (g) integral 2t(t^2+5)^-4,dt com u=t^2+5. Então du=2t,dt. A integral é integral u^-4du=tfracu^-3-3+C=-tfrac13(u)^-3+C=-tfrac13(t^2+5)^-3+C.
Para (h) integral dtraiz5t+8 com u=raiz5t+8. Então u^2=5t+8 e 2u,du=5,dt, logo dt=tfrac2u5du. A integral é integral 1ucdot2u5du=tfrac25integral du=tfrac25u+C=tfrac25raiz5t+8+C.
Para (i) integralsin^2thetacostheta,dtheta com u=sintheta. Temos du=costheta,dtheta. A integral é integral u^2du=tfracu^33+C=tfrac13sin^3theta+C.
Para (j) integral thetasinl(2theta^2r)dtheta com u=2theta^2. Temos du=4theta,dtheta, logo theta,dtheta=tfrac14du. A integral é tfrac14integralsin u,du=-tfrac14cos u+C=-tfrac14cos(2theta^2)+C.
Para (k) integral csc^2(2theta)cot(2theta),dtheta fazemos a substituição natural u=cot(2theta). Então du=-2csc^2(2theta)dtheta, ou csc^2(2theta)dtheta=-tfrac12du. A integral fica $\int u,(-\tfrac{1}{2}du)=-\tfrac{1}{2}\int u,du=-\tfrac{u{2}}{4}+C=-\tfrac{1}{4}\cot{2}(2\theta)+C.

Resposta

a) -tfrac12e^-x^2+C
b) tfrac29(x^3+1)^3/2+C
c) tfrac12sin(2x)+C
d) tfrac12l(-tfrac1x+sin(tfrac1x)cos(tfrac1x)r)+C
e) tfrac14ln|t^4-5|+C
f) tfrac(2t+1)^3/23+C
g) -tfrac13(t^2+5)^-3+C
h) tfrac25raiz5t+8+C
i) tfrac13sin^3theta+C
j) -tfrac14cos(2theta^2)+C
k) -tfrac14cot^2(2theta)+C

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