Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região \Omega entre o gráfico de y=\frac{1}{(1+x) \sqrt{x}} e o eixo x, para x=2, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região \Omega limitada pelo gráfico
y = \frac{1}{(1+x)\sqrt{x}}
pelo eixo x e pela reta vertical x=2.
Conteúdo: volume por rotação (método dos discos) e tratamento de integral imprópria, pois a curva diverge em x=0.

Passo 2

Pelo método dos discos, o volume é
V = \pi \int_{0}^{2} \bigl[y(x)\bigr]^{2} \,dx = \pi \int_{0}^{2} \frac{1}{\bigl((1+x)\sqrt{x}\bigr)^{2}}\,dx = \pi \int_{0}^{2} \frac{1}{x\,(1+x)^{2}}\,dx.
Note que é uma integral imprópria em x=0.

Passo 3

Para estudar a convergência, escrevemos
\int_{0}^{2} \frac{1}{x\,(1+x)^{2}}\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^{+}} \int_{\varepsilon}^{2} \frac{1}{x\,(1+x)^{2}}\,dx.
Analisaremos se esse limite é finito ou não.

Passo 4

Fazemos frações parciais em \displaystyle \frac{1}{x\,(1+x)^{2}}.
Procuramos A,B,C tais que
\frac{1}{x\,(1+x)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1+x} + \frac{C}{(1+x)^{2}}.
Conclui-se
\frac{1}{x\,(1+x)^{2}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} - \frac{1}{(1+x)^{2}}.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|,\quad \int \bigl(-\tfrac{1}{1+x}\bigr)\,dx = -\ln(1+x),\quad \int \bigl(-\tfrac{1}{(1+x)^{2}}\bigr)\,dx = \frac{1}{1+x}.
Logo
\int_{\varepsilon}^{2} \frac{1}{x\,(1+x)^{2}}\,dx = \Bigl[\ln x - \ln(1+x) + \frac{1}{1+x}\Bigr]_{\varepsilon}^{2}.

Passo 6

Avaliando em x=2 e x=\varepsilon:
\Bigl(\ln 2 - \ln 3 + \tfrac13\Bigr) -\Bigl(\ln \varepsilon - \ln(1+\varepsilon) + \tfrac{1}{1+\varepsilon}\Bigr).
Quando \varepsilon\to0^{+} temos \ln\varepsilon\to-\infty, \ln(1+\varepsilon)\to0, 1/(1+\varepsilon)\to1.
Portanto o termo -\ln\varepsilon diverge para +\infty, e a integral é divergente.

Resposta

O volume é infinito (a integral diverge para +\infty).

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