Obtenha o volume do sólido gerado a girarmos em torno do eixo y a região limitada pelas curvas y=x^{4}-1 e y=1-x^{6} com 0 \leq x \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado ao girarmos em torno do eixo y a região em que, para 0 \le x \le 1, temos as curvas
y = x^4 - 1
e
y = 1 - x^6.
Como giramos em torno de y e os limites estão em função de x, o método das cascas cilíndricas (ou método dos cilindros) é o mais conveniente.

Passo 2

Precisamos saber qual curva é superior em cada x. Igualando
x^4 - 1 = 1 - x^6
obtemos
x^6 + x^4 - 2 = 0,
cuja única raiz em [0,1] é x=1. Em x=0 vale
y_{\text{topo}} = 1 - 0^6 = 1, \quad y_{\text{fundo}} = 0^4 - 1 = -1,
logo em todo o intervalo 0\le x<1 temos
y_{\text{topo}} = 1 - x^6 \quad\text{e}\quad y_{\text{fundo}} = x^4 - 1.

Passo 3

No método das cascas, um elemento a x tem:
— raio =x,
— altura =y_{\text{topo}}-y_{\text{fundo}},
— espessura dx.
Aqui
\text{altura} = (1 - x^6) - (x^4 - 1) = 2 - x^4 - x^6.

Passo 4

O volume é
V = 2\pi \int_{0}^{1} x\bigl(2 - x^4 - x^6\bigr)\,dx = 2\pi \int_{0}^{1}\bigl(2x - x^5 - x^7\bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
2\pi \Bigl[ x^2 - \frac{x^6}{6} - \frac{x^8}{8} \Bigr]_{0}^{1} = 2\pi\Bigl(1 - \tfrac{1}{6} - \tfrac{1}{8}\Bigr).

Passo 5

Calculando a expressão dentro do parênteses:
1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{8} = 1 - \frac{4}{24} - \frac{3}{24} = 1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24}.
Logo
V = 2\pi \cdot \frac{17}{24} = \frac{17\pi}{12}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \frac{17\pi}{12}.

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