Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região
entre o gráfico de
e o eixo
, para
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo
, a região
limitada pelo gráfico
pelo eixo
e pela reta vertical
.
Conteúdo: volume por rotação (método dos discos) e tratamento de integral imprópria, pois a curva diverge em .
Conteúdo: volume por rotação (método dos discos) e tratamento de integral imprópria, pois a curva diverge em
Passo 2
Pelo método dos discos, o volume é
Note que é uma integral imprópria em
.
Passo 3
Para estudar a convergência, escrevemos
Analisaremos se esse limite é finito ou não.
Passo 4
Fazemos frações parciais em
.
Procuramos tais que
Procuramos
Conclui-se
Passo 5
Integramos termo a termo:
Logo
Passo 6
Avaliando em
e
:
Quando
temos
,
,
.
Portanto o termo diverge para
, e a integral é divergente.
Portanto o termo
Resposta
O volume é infinito (a integral diverge para
).