Obtenha um valor positivo para a \in \mathbb{R} de tal forma que ao girarmos em torno da reta y=0 (eixo dos x ) a região compreendida entre as curvas y=1, x=a, x=1 e y=\sqrt{x}, o sólido gerado tenha volume igual a 2 \pi unidades de volume.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um a>0 de modo que, ao girarmos em torno de y=0 a região limitada por y=1, x=1, x=a e y=\sqrt{x}, o volume seja 2\pi. O conteúdo usado será o método dos discos (anéis) para volume de revolução.

Passo 2

As curvas y=1 e y=\sqrt{x} se interceptam em x=1.
Se a>1, então para x entre 1 e a temos \sqrt{x}\ge1 e a região existe e é não nula.

Passo 3

Ao girar em torno de y=0, num valor fixo de x temos um anel cuja:
– raio externo é
R(x)=\sqrt{x},
– raio interno é
r(x)=1.

Passo 4

A área da secção transversal (anel) em x é
A(x)=\pi\bigl(R(x)^2 - r(x)^2\bigr) =\pi\bigl(x - 1\bigr).
Logo, o elemento de volume é dV=A(x)\,dx=\pi(x-1)\,dx.

Passo 5

O volume total é
V=\int_{x=1}^{x=a} \pi(x-1)\,dx =\pi\int_{1}^{a}(x-1)\,dx.

Passo 6

Calculando a integral,
V =\pi\Bigl[\tfrac{x^2}{2}-x\Bigr]_{1}^{a} =\pi\Bigl(\tfrac{a^2}{2}-a -\bigl(\tfrac{1}{2}-1\bigr)\Bigr) =\pi\Bigl(\tfrac{a^2}{2}-a +\tfrac{1}{2}\Bigr) =\frac{\pi}{2}(a-1)^2.

Passo 7

Igualando ao volume exigido,
\frac{\pi}{2}(a-1)^2 = 2\pi \quad\Longrightarrow\quad (a-1)^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad a-1 = \pm 2
daí a=3 ou a=-1.

Passo 8

Como queremos a>0 e, além disso, assumimos a>1 para a região existir, ficamos com a=3.

Resposta

a=3

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