Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos y a região limitada pelas curvas y=1-x^6 e y=x^4-1,0 <= x <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido gerado ao girar uma região em torno do eixo $ y $. As curvas que delimitam essa região são $ y = 1 - x^6 $ e $ y = x^4 - 1 $, no intervalo de $ x $ de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou cilindros na cálculo integral, que é uma técnica para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas que definem a região. A curva $ y = 1 - x^6 $ é uma função decrescente no intervalo de 0 a 1, começando em $ y = 0 $ quando $ x = 1 $ e aumentando conforme $ x $ diminui. Já a curva $ y = x^4 - 1 $ é uma função crescente nesse intervalo, começando em $ y = -1 $ quando $ x = 0 $ e aumentando até $ y = 0 $ quando $ x = 1 $.

Passo 3

Precisamos ver onde essas duas curvas se encontram no intervalo dado. Igualando $ 1 - x^6 = x^4 - 1 $, temos:
1 - x^6 = x^4 - 1
Testando $ x = 1 $:
1 - x^6 = x^4 - 1 2 = x^6 + x^4 x^6 + x^4 - 2 = 0
Então, $ x = 1 $ é uma solução. Além disso, no intervalo de 0 a 1, essa é a única interseção relevante para nosso problema.

Passo 4

Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Escolhendo um valor de $ x $ entre 0 e 1, por exemplo, $ x = 0.5 $:
x
Então, $ y = 1 - x^6 $ está acima de $ y = x^4 - 1 $ nesse intervalo.

Passo 5

Para calcular o volume ao girar em torno do eixo $ y $, usamos o método dos discos, integrando em relação a $ y $. Primeiro, precisamos expressar $ x $ em função de $ y $ para ambas as curvas.
Para $ y = 1 - x^6 $:
y
Para $ y = x^4 - 1 $:
y

Passo 6

O volume $ V $ é dado pela integral:
V
Onde $ R(y) $ é o raio externo e $ r(y) $ é o raio interno.

Passo 7

Identificamos os limites de integração. Quando $ x = 0 $:
x = 0
E quando $ x = 1 $:
y = 1 - 0 = 1 y = 0 - 1 = -1
Então, $ y $ varia de -1 a 0.

Passo 8

Determina-se $ R(y) $ e $ r(y) $:
R(y)

Passo 9

Agora, substituímos na fórmula do volume:
V = pi integral-1^0 [ (1 - y)^1/3 - (y + 1)^1/2 ] dy
(Nota: $ R(y)^2 = \left( (1 - y)^{1/6} \right)^2 = (1 - y)^{1/3} $ e $ r(y)^2 = \left( (y + 1)^{1/4} \right)^2 = (y + 1)^{1/2} $)

Passo 10

Calculamos a integral:
V = pi integral-1^0 [ (1 - y)^1/3 - (y + 1)^1/2 ] dy
Primeiro, integramos $ (1 - y)^{1/3} $:
(1 - y)^1/3
E integra-se $ (y + 1)^{1/2} $:
integral (1 - y)^1/3 dy = -34 (1 - y)^4/3 + C

Passo 11

Aplicando os limites de -1 a 0:
V = pi [ ( -34 (1 - y)^4/3 - 23 (y + 1)^3/2 ) g|-1^0 ]
Calculando em $ y = 0 $:
y = 0
Calculando em $ y = -1 $:
-34 (1 - 0)^4/3 - 23 (0 + 1)^3/2 = -34 - 23

Passo 12

Subtraindo os valores:
V = pi [ ( -34 - 23 ) - ( -34 2^4/3 ) ] V = pi [ -34 - 23 + 34 2^4/3 ]

Passo 13

Simplificando os termos:
V = pi [ 34 (2^4/3 - 1) - 23 ]
Calculando numericamente:
2^4/3 approx 2.5198 V approx pi [ 34 (1.5198) - 23 ] V approx pi [ 1.13985 - 0.6667 ] V approx pi (0.47315) V approx 1.486 unidades cúbicas ú

Resposta

O volume do sólido de revolução é aproximadamente $ 1.486 $ unidades cúbicas.

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