Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo dos y a região limitada pelas curvas
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido gerado ao girar uma região em torno do eixo $ y $. As curvas que delimitam essa região são $ y = 1 - x^6 $ e $ y = x^4 - 1 $, no intervalo de $ x $ de 0 a 1. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou cilindros na cálculo integral, que é uma técnica para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que definem a região. A curva $ y = 1 - x^6 $ é uma função decrescente no intervalo de 0 a 1, começando em $ y = 0 $ quando $ x = 1 $ e aumentando conforme $ x $ diminui. Já a curva $ y = x^4 - 1 $ é uma função crescente nesse intervalo, começando em $ y = -1 $ quando $ x = 0 $ e aumentando até $ y = 0 $ quando $ x = 1 $.
Passo 3
Precisamos ver onde essas duas curvas se encontram no intervalo dado. Igualando $ 1 - x^6 = x^4 - 1 $, temos:
Testando $ x = 1 $:
Então, $ x = 1 $ é uma solução. Além disso, no intervalo de 0 a 1, essa é a única interseção relevante para nosso problema.
Passo 4
Agora, vamos determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Escolhendo um valor de $ x $ entre 0 e 1, por exemplo, $ x = 0.5 $:
Então, $ y = 1 - x^6 $ está acima de $ y = x^4 - 1 $ nesse intervalo.
Passo 5
Para calcular o volume ao girar em torno do eixo $ y $, usamos o método dos discos, integrando em relação a $ y $. Primeiro, precisamos expressar $ x $ em função de $ y $ para ambas as curvas.
Para $ y = 1 - x^6 $:
Para $ y = x^4 - 1 $:
Passo 6
O volume $ V $ é dado pela integral:
Onde $ R(y) $ é o raio externo e $ r(y) $ é o raio interno.
Passo 7
Identificamos os limites de integração. Quando $ x = 0 $:
E quando $ x = 1 $:
Então, $ y $ varia de -1 a 0.
Passo 8
Determina-se $ R(y) $ e $ r(y) $:
Passo 9
Agora, substituímos na fórmula do volume:
(Nota: $ R(y)^2 = \left( (1 - y)^{1/6} \right)^2 = (1 - y)^{1/3} $ e $ r(y)^2 = \left( (y + 1)^{1/4} \right)^2 = (y + 1)^{1/2} $)
Passo 10
Calculamos a integral:
Primeiro, integramos $ (1 - y)^{1/3} $:
E integra-se $ (y + 1)^{1/2} $:
Passo 11
Aplicando os limites de -1 a 0:
Calculando em $ y = 0 $:
Calculando em $ y = -1 $:
Passo 12
Subtraindo os valores:
Passo 13
Simplificando os termos:
Calculando numericamente:
Resposta
O volume do sólido de revolução é aproximadamente $ 1.486 $ unidades cúbicas.