Calcule a área do conjunto dado
A=(x, y) in R^2: 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= raizx-1

Passo 1

O enunciado pede a área da região A definida por 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ √(x−1). O conteúdo é cálculo de área sob curva usando integral definida.

Passo 2

Representamos a área como
integral1^2 raizx-1,dx
que vem da ideia de somar infinitas tiras verticais de altura y = √(x−1) e largura dx.

Passo 3

Para resolver essa integral, fazemos a substituição u = x − 1, de modo que du = dx. Os limites mudam: quando x = 1, u = 0; quando x = 2, u = 1. Assim,
integral1^2 raizx-1,dx = integral0^1 raizu,du = integral0^1 u^1/2,du

Passo 4

A primitiva de u^{1/2} é tfrac23u^3/2. Avaliando de 0 a 1 temos
tfrac23l(1^3/2 - 0^3/2r) = tfrac23

Resposta

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