Calcule a integral.
integral-1 / 2^1 / 2 4 x^2+5 x+74 x^2+4 x+5 d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral definida de uma função racional de segundo grau no numerador e no denominador, mais precisamente
integral-tfrac12^tfrac12 4x^2+5x+74x^2+4x+5,dx
Vamos usar divisão de polinômios para separar a parte polinomial e depois integrar o resto com técnicas de logaritmo e arctan.

Passo 2

Primeiro dividimos o numerador pelo denominador. Como
4x^2+5x+7 = (4x^2+4x+5) + (x+2)
temos
4x^2+5x+74x^2+4x+5 = 1 + x+24x^2+4x+5
Então a integral vira
integral-1/2^1/21,dx + integral-1/2^1/2x+24x^2+4x+5,dx

Passo 3

Para a segunda integral, escrevemos o numerador “x+2” como combinação da derivada do denominador mais uma constante. Sejam
D(x)=4x^2+4x+5,
então
D'(x)=8x+4
Procuramos constantes A e B tais que
x+2 = Al(8x+4r) + B
Igualando coeficientes, achamos A=\tfrac18 e B=\tfrac32.

Passo 4

Logo
x+2D(x) = 18D'(x)D(x) + 3/2D(x)
Integrando:
  • A parte tfrac18integral D'/D,dx = tfrac18ln|D(x)|
  • Para integral dx/D(x) completamos o quadrado:
D(x)=4l(x^2+xr)+5=4l((x+tfrac12)^2+1r)
e aí
integral dxD(x) = 14integral duu^2+1 = 14arctan(u), u=x+tfrac12
Multiplicando por 3/2 tfrac38arctan(x+tfrac12).

Passo 5

Somando tudo, a antiderivada fica
F(x)=x + 18lnl(4x^2+4x+5r) + 38arctanl(x+tfrac12r)

Passo 6

Agora avaliamos nos limites. Em x=tfrac12:
  • x=tfrac12 F(tfrac12)=tfrac12 + tfrac18ln8 + tfrac38cdottfracpi4
    Em x=-tfrac12:
  • F(-tfrac12)=-tfrac12 + tfrac18ln4 + 0

Passo 7

Subtraindo e simplificando:
F(tfrac12)-F(-tfrac12)=l(tfrac12+tfrac12r) + 18(ln8-ln4) + 3pi32 =1+18ln2+3pi32

Resposta

1 + \frac{1}{8}\ln 2 + \frac{3\pi}{32}

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