Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral definida de uma função racional de segundo grau no numerador e no denominador, mais precisamente
Vamos usar divisão de polinômios para separar a parte polinomial e depois integrar o resto com técnicas de logaritmo e arctan.
Passo 2
Primeiro dividimos o numerador pelo denominador. Como
temos
Então a integral vira
Passo 3
Para a segunda integral, escrevemos o numerador “x+2” como combinação da derivada do denominador mais uma constante. Sejam
então
Procuramos constantes A e B tais que
Igualando coeficientes, achamos A=\tfrac18 e B=\tfrac32.
Passo 4
Logo
Integrando:
- A parte
- Para
completamos o quadrado:
e aí
Multiplicando por
dá
.
Passo 5
Somando tudo, a antiderivada fica
Passo 6
Agora avaliamos nos limites. Em
:
-
dá
Em: -
Passo 7
Subtraindo e simplificando:
Resposta
1 + \frac{1}{8}\ln 2 + \frac{3\pi}{32}