Pensando nos casos que estudamos de autovalores reais distintos ou complexos conjugados, explique em detalhe (em algo como uma página) e com clareza por que o teorema seguinte faz sentido:
Teorema: Seja
um equilíbrio do sistema
onde
e
. Suponha que
e
tenham derivadas parciais contínuas
. Se a seguinte matriz, calculada no ponto
, tem autovalores reais negativos ou complexos com parte real negativa, então
é assintoticamente estável.
Teorema: Seja
Passo 1
O enunciado fala de estabilidade assintótica de um ponto de equilíbrio
(onde
) de um sistema
em . O conteúdo é análise de sistemas dinâmicos não-lineares por linearização local, e vamos precisar do conceito de Jacobiana e do Teorema de Hartman–Grobman.
(onde
) de um sistema
em
Passo 2
Para entender por que faz sentido, aproximamos
perto de
pela expansão de Taylor de 1ª ordem: escrevemos
ou seja, para pequenas perturbações
, o sistema não-linear se comporta como o sistema linearizado
onde
é a Jacobiana.
Passo 3
Agora, num sistema linear
, sabemos que as soluções são combinações lineares de modos na forma
,
onde e
são autovalor e autovetor de
. Se todos os autovalores têm parte real negativa, cada modo decai exponencialmente para zero.
No caso de autovalores reais e distintos, e
, as soluções são duas exponenciais decrescentes. Geometricamente isso gera um “sumidouro”: toda trajetória é atraída diretamente ao equilíbrio.
Se os autovalores são complexos conjugados
com , as soluções oscilam (devido a
) e ao mesmo tempo decaem (devido a
). O resultado é um foco espiral que converge.
onde
No caso de autovalores reais e distintos,
Se os autovalores são complexos conjugados
com
Passo 4
O Teorema de Hartman–Grobman garante que, sob certas condições (funções
e autovalores com parte real diferente de zero), o comportamento qualitativo (topológico) do sistema não-linear perto de
é equivalente ao do sistema linearizado.
Passo 5
Portanto, como o sistema linearizado atrai todas as perturbações quando os autovalores têm parte real negativa, o sistema não-linear original também terá
como atrator local. Isso explica por que o teorema faz sentido.
A conclusão é que a condição sobre os autovalores garante atração exponencial local e, via conjugação topológica, assegura que é assintoticamente estável.
A conclusão é que a condição sobre os autovalores garante atração exponencial local e, via conjugação topológica, assegura que
Resposta
Porque, ao linearizar o sistema em torno do equilíbrio, obtemos um sistema linear cujas soluções decaem exponencialmente (no caso real negativo) ou oscilam com amortecimento (no caso complexo com parte real negativa). O Teorema de Hartman–Grobman nos diz que localmente o não-linear se comporta como o linear, de modo que, se os autovalores têm parte real negativa, toda perturbação é atraída de volta ao ponto de equilíbrio, garantindo a estabilidade assintótica.