Pensando nos casos que estudamos de autovalores reais distintos ou complexos conjugados, explique em detalhe (em algo como uma página) e com clareza por que o teorema seguinte faz sentido:
Teorema: Seja xe q um equilíbrio do sistema
dd t x=f(x)
onde x=(x, y) e f(x)=(f(x, y), g(x, y)). Suponha que f e g tenham derivadas parciais contínuas forall(x, y). Se a seguinte matriz, calculada no ponto xe q, tem autovalores reais negativos ou complexos com parte real negativa, então xe q é assintoticamente estável.
(ll partial f / partial x & partial f / partial y partial g / partial x & partial g / partial y )

Passo 1

O enunciado fala de estabilidade assintótica de um ponto de equilíbrio
(onde
f(xeq)=0
) de um sistema
dotx=f(x)
em R^2. O conteúdo é análise de sistemas dinâmicos não-lineares por linearização local, e vamos precisar do conceito de Jacobiana e do Teorema de Hartman–Grobman.

Passo 2

Para entender por que faz sentido, aproximamos f(x,y) perto de xeq pela expansão de Taylor de 1ª ordem: escrevemos
f(xeq+de
ou seja, para pequenas perturbações de, o sistema não-linear se comporta como o sistema linearizado
dotde
onde
partial f/partial x & partial f/partial y partial g/partial x & partial g/partial y é a Jacobiana.

Passo 3

Agora, num sistema linear
dotu=Ju, sabemos que as soluções são combinações lineares de modos na forma
e^lambda tv,
onde lambda e v são autovalor e autovetor de J. Se todos os autovalores têm parte real negativa, cada modo decai exponencialmente para zero.
No caso de autovalores reais e distintos, lambda1<0 e lambda2<0, as soluções são duas exponenciais decrescentes. Geometricamente isso gera um “sumidouro”: toda trajetória é atraída diretamente ao equilíbrio.
Se os autovalores são complexos conjugados
lambda=alphapm ibeta
com alpha<0, as soluções oscilam (devido a ibeta) e ao mesmo tempo decaem (devido a alpha<0). O resultado é um foco espiral que converge.

Passo 4

O Teorema de Hartman–Grobman garante que, sob certas condições (funções C^1 e autovalores com parte real diferente de zero), o comportamento qualitativo (topológico) do sistema não-linear perto de xeq é equivalente ao do sistema linearizado.

Passo 5

Portanto, como o sistema linearizado atrai todas as perturbações quando os autovalores têm parte real negativa, o sistema não-linear original também terá xeq como atrator local. Isso explica por que o teorema faz sentido.
A conclusão é que a condição sobre os autovalores garante atração exponencial local e, via conjugação topológica, assegura que xeq é assintoticamente estável.

Resposta

Porque, ao linearizar o sistema em torno do equilíbrio, obtemos um sistema linear cujas soluções decaem exponencialmente (no caso real negativo) ou oscilam com amortecimento (no caso complexo com parte real negativa). O Teorema de Hartman–Grobman nos diz que localmente o não-linear se comporta como o linear, de modo que, se os autovalores têm parte real negativa, toda perturbação é atraída de volta ao ponto de equilíbrio, garantindo a estabilidade assintótica.

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