Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação das regiões indicadas:
Questão 3.
y=1 / x, y=0, x=1, x=3 ao redor do eixo de y=-1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno de y=-1 a região limitada por ,y=tfrac1x, y=0, x=1 e x=3.
Conteúdo: cálculo de volume por revolução usando o método dos anéis (washers). Vamos precisar identificar o raio externo e o raio interno, montar a integral de volume e calcular.

Passo 2

Para cada xin[1,3], ao girar em torno de y=-1:
– O raio externo R(x) vai do eixo y=-1 até a curva y=tfrac1x, logo
R(x)=l(tfrac1x -(-1)r)=1+tfrac1x
– O raio interno r(x) vai do eixo y=-1 até a reta y=0, logo
r(x)=0-(-1)=1

Passo 3

A fórmula do volume pelo método dos anéis é
V=integralx=1^3pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx
Substituindo R(x) e r(x):
V=piintegral1^3l[(1+tfrac1x)^2 - 1^2r],dx

Passo 4

Expandindo o integrando:
(1+tfrac1x)^2 -1 = 1 + tfrac2x + tfrac1x^2 -1 =tfrac2x + tfrac1x^2
Portanto
V=piintegral1^3l(tfrac2x + tfrac1x^2r),dx
Calculemos a integral:
integrall(tfrac2x + tfrac1x^2r),dx =2ln x - tfrac1x + C

Passo 5

Avaliaremos de 1 a 3:
V =pil[,2ln x - tfrac1xr]1^3 =pil[l(2ln3 - tfrac13r)-l(2ln1 -1r)r] =pil(2ln3 - tfrac13 +1r)
Simplificando:
V=pil(2ln3 + tfrac23r) =2pil(ln3 + tfrac13r)

Resposta

V = pil(2ln3 + tfrac23r)unidades^3

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