^circ Questão. (a) (20 pontos) Resolva a equação diferencial y^prime=(1-2 x) y^2, com condição inicial y(0)=-1 / 6.
(b) ( 7 pontos) Mostre que x1=1 / 2 é um ponto crítico da soluçāo do PVI da letra (a).
(c) ( 8 pontos) Considereando a solução do PVI definida no intervalo ( -2,3 ), use o teste da derivada segunda para mostrar que x1=1 / 2 é um ponto de mínimo.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
dydx = (1-2x),y^2, y(0) = -tfrac16,
e pede:
(a) resolver essa EDO;
(b) mostrar que x1=1/2 é ponto crítico da solução;
(c), usando o teste da segunda derivada, concluir que x1=1/2 é ponto de mínimo.

Passo 2

Separamos variáveis:
dyy^2 = (1-2x),dx
Integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy = integral (1-2x),dx Longrightarrow -,y^-1 = x - x^2 + C
Impondo y(0)=-tfrac16 na relação -1/y = x - x^2 + C em x=0 -1/(-1/6)=CRightarrow C=6. Assim
-1y ;=; x - x^2 + 6 Longrightarrow y(x) = -1,x - x^2 + 6,

Passo 3

Da forma fechada y'(x)=(1-2x),y(x)^2, temos em x1=1/2:
y'l(tfrac12r) = l(1-2cdottfrac12r),yl(tfrac12r)^2 =0cdot yl(tfrac12r)^2 =0
Logo x1=1/2 é ponto crítico.

Passo 4

Para aplicar o teste da segunda derivada, derivamos
y''(x) =ddxl[(1-2x),y^2r] =-2,y^2 + 2,(1-2x),y,y'
Em x=tfrac12 o fator (1-2x) zera o segundo termo, restando
y''l(tfrac12r) =-2,yl(tfrac12r)^2 =-2l(-tfrac125/4r)^2 =-,32625 <0
Como y''(1/2)<0, a solução tem ponto de máximo em x=1/2. Portanto, ao contrário do enunciado que diz “mínimo”, de fato é um máximo.

Resposta

(a) y(x)=-1x - x^2 + 6
(b) y'(1/2)=0, logo x1=1/2 é ponto crítico.
(c) y''(1/2)=-32/625<0, logo ponto de máximo (o enunciado está incorreto ao indicar mínimo).

Exercícios relacionados