Questão. (a) (20 pontos) Resolva a equação diferencial
, com condição inicial
.
(b) ( 7 pontos) Mostre que
é um ponto crítico da soluçāo do PVI da letra (a).
(c) ( 8 pontos) Considereando a solução do PVI definida no intervalo (
), use o teste da derivada segunda para mostrar que
é um ponto de mínimo.
(b) ( 7 pontos) Mostre que
(c) ( 8 pontos) Considereando a solução do PVI definida no intervalo (
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
e pede:
(a) resolver essa EDO;
(b) mostrar que é ponto crítico da solução;
(c), usando o teste da segunda derivada, concluir que é ponto de mínimo.
(a) resolver essa EDO;
(b) mostrar que
(c), usando o teste da segunda derivada, concluir que
Passo 2
Separamos variáveis:
Integramos ambos os lados:
Impondo
na relação
em
dá
. Assim
Passo 3
Da forma fechada
, temos em
:
Logo
é ponto crítico.
Passo 4
Para aplicar o teste da segunda derivada, derivamos
Em
o fator
zera o segundo termo, restando
Como
, a solução tem ponto de máximo em
. Portanto, ao contrário do enunciado que diz “mínimo”, de fato é um máximo.
Resposta
(a)
(b) , logo
é ponto crítico.
(c) , logo ponto de máximo (o enunciado está incorreto ao indicar mínimo).
(b)
(c)