^ a Questão. (35 pontos) Use fator integrante para achar a solução geral da EDO
y^prime+2t y=5 cos (3 t), t>0

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de primeira ordem
y' + 2t,y = 5cos(3t), t>0
O método é fator integrante. Vamos encontrar um fator mu(t) tal que ao multiplicar a EDO ela fique na forma (mu y)'=mucdot(lado direito).

Passo 2

O coeficiente de y é 2t, então o fator integrante é
mu(t) = expl(integral 2t,dtr) = exp(2ln t) = t^2
Multiplicando a EDO por t^2 obtemos
t^2y' + 2t,y = 5,t^2cos(3t)

Passo 3

Repare que
t^2y' + 2t,y = ddtl(t^2yr)
Logo a EDO vira
ddtl(t^2yr) = 5,t^2cos(3t)

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
t^2y = integral 5,t^2cos(3t),dt + C
Resta calcular I = integral t^2cos(3t),dt.

Passo 5

Use integração por partes em I: escolha
u = t^2, dv = cos(3t),dt
du = 2t,dt, v = 13sin(3t)
Então
I = t^23sin(3t) - 23integral tsin(3t),dt
Para J=integral tsin(3t),dt faça outra partes com
u = t, dv = sin(3t),dt
du = dt, v = -13cos(3t)
Isso dá
J = -t3cos(3t) + 19sin(3t)

Passo 6

Voltando a I:
I = t^23sin(3t) - 23l(-tfract3cos(3t) + tfrac19sin(3t)r) = t^23sin(3t) + 2t9cos(3t) - 227sin(3t)
Multiplicando por 5 e somando a constante,
integral 5,t^2cos(3t),dt = l(tfrac5t^23-tfrac1027r)sin(3t) + tfrac10t9cos(3t) + C
Logo
t^2y = l(tfrac5t^23-tfrac1027r)sin(3t) + tfrac10t9cos(3t) + C

Passo 7

Basta dividir por t^2 e reorganizar:
y(t) = 1t^2l(l(tfrac5t^23-tfrac1027r)sin(3t) + tfrac10t9cos(3t) + Cr) = 5(9t^2-2)27,t^2sin(3t) + 109tcos(3t) + Ct^2

Resposta

boxed,y(t)=5(9t^2-2)27,t^2sin(3t);+;109tcos(3t);+;Ct^2, CinR,

Exercícios relacionados