Sendo A=(ll2 & 0 0 & 2) e B=(ll3 & 0 0 & 3), determinar as matrizes X e Y, tais que: X+Y=A+B e 2 X-Y=A-B

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = 2 & 0 0 & 2 e B = 3 & 0 0 & 3
e pede X e Y tais que
X + Y = A + B e 2X - Y = A - B
O conteúdo é resolver um sistema linear em matrizes, usando operações algébricas (soma e subtração).

Passo 2

Anotamos o sistema matricial:
X + Y = A + B, 2X - Y = A - B
Esse sistema se comporta como um sistema escalar aplicado a cada entrada da matriz, pois A,B,X,Y comutam entre si (são múltiplos da identidade).

Passo 3

Somamos as duas equações para eliminar Y:
(X+Y) + (2X - Y) = (A+B) + (A - B) ;Longrightarrow; 3X = 2A ;Longrightarrow; X = tfrac23,A

Passo 4

Calculamos explicitamente
X = tfrac23,A = tfrac23 2 & 0 0 & 2 = tfrac43 & 0 0 & tfrac43

Passo 5

Usamos agora a primeira equação X+Y=A+B para achar Y:
Y = A + B - X

Passo 6

Substituindo A, B e X:
Y = 2 & 0 0 & 2 + 3 & 0 0 & 3 - tfrac43 & 0 0 & tfrac43 = 5 & 0 0 & 5 - tfrac43 & 0 0 & tfrac43 = tfrac113 & 0 0 & tfrac113

Resposta

X = tfrac43 & 0 0 & tfrac43, Y = tfrac113 & 0 0 & tfrac113

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