Exercício 14 Calcule a área das seguintes superfícies geradas pela rotação das seguintes curvas em torno do eixo x, nos respectivos intervalos.
y=\operatorname{sen} x, \quad 0 \leq x \leq \pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar a curva y=\sin x, no intervalo 0\le x\le\pi/2, em torno do eixo x. O conteúdo usado será a fórmula de área de superfície de revolução:
A = 2\pi \int_a^b y\,\sqrt{1+\Bigl(\frac{dy}{dx}\Bigr)^2}\,dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
\frac{dy}{dx} = \cos x.
Substituindo y=\sin x e y'=\cos x na fórmula, temos
A = 2\pi \int_{0}^{\pi/2} \sin x \,\sqrt{1+\cos^2 x}\;dx.

Passo 3

Para avaliar \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin x \sqrt{1+\cos^2 x}\,dx,
fazemos a substituição
u = \cos x, \quad du = -\sin x\,dx.
Quando x=0, u=1; quando x=\pi/2, u=0. Logo
\int_{0}^{\pi/2} \sin x \sqrt{1+\cos^2 x}\,dx = \int_{1}^{0} (-1)\sqrt{1+u^2}\,du = \int_{0}^{1} \sqrt{1+u^2}\,du.

Passo 4

A primitiva de \sqrt{1+u^2} é
\int \sqrt{1+u^2}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{1+u^2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(u + \sqrt{1+u^2}\bigr) + C.
Avaliando de 0 a 1 obtém-se
\int_{0}^{1}\sqrt{1+u^2}\,du = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).

Passo 5

Voltando à área e multiplicando por 2\pi, temos
A = 2\pi\Bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2} + \tfrac{1}{2}\ln(1+\sqrt{2})\Bigr) = \pi\sqrt{2} + \pi\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).

Resposta

A = \pi\sqrt{2} + \pi\ln\bigl(1+\sqrt{2}\bigr).

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