Exercício 15 Calcule o comprimento das seguintes curvas nos respectivos intervalos.
y=\frac{1}{3}\left(x{2}+2\right){3 / 2},
0 \leq x \leq 1 ;

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva
y = \frac{1}{3}\bigl(x^{2}+2\bigr)^{3/2}
no intervalo 0\le x\le1. Vamos usar a fórmula do comprimento de curva
L = \int_{0}^{1} \sqrt{1+\bigl(y'\bigr)^{2}}\;dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y.
y = \frac{1}{3}(x^{2}+2)^{3/2}
y' = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}(x^{2}+2)^{1/2}\cdot2x = x\,(x^{2}+2)^{1/2}.

Passo 3

Substituímos em \sqrt{1+(y')^{2}}:
\sqrt{1 + x^{2}(x^{2}+2)} = \sqrt{x^{4}+2x^{2}+1} = \sqrt{(x^{2}+1)^{2}} = x^{2}+1,
pois em [0,1] a raiz quadrada é não negativa.

Passo 4

Integramos de 0 a 1:
L = \int_{0}^{1}(x^{2}+1)\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}+x\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}+1 = \frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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