Sejam f, g: R longrightarrow R funções deriváveis, tais que, f(x)=raizx^2+g(2 x+1), x in R, g(0)=4, g(1)=9, g^prime(0)=5 e g^prime(1)=2 raiz2.
Determine f^prime(x) e calcule f^prime(0);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente tem duas funções, $ f $ e $ g $, que são diferenciáveis. A função $ f(x) $ é definida como $ \sqrt{x^{2} + g(2x + 1)} $. A gente precisa encontrar a derivada de $ f $, ou seja, $ f’(x) $, e depois calcular $ f’(0) $. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e conhecer um pouquinho sobre derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada de $ f(x) = \sqrt{x^{2} + g(2x + 1)} $. Para derivar uma raiz quadrada, a gente usa a regra da cadeia. Lembra que a derivada de $ \sqrt{u} $ é $ \frac{1}{2\sqrt{u}} $ multiplicado pela derivada de $ u $.

Passo 3

Vamos identificar $ u $ na nossa função:
u
Agora, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
u = x^2 + g(2x + 1)
Aqui, aplicamos a regra da cadeia novamente para derivar $ g(2x + 1) $, onde a derivada de $ 2x + 1 $ é 2.

Passo 4

Agora, juntando tudo, a derivada de $ f(x) $ é:
f(x)
Podemos simplificar um pouco:
f'(x) = 12raizx^2 + g(2x + 1) cdot (2x + 2g'(2x + 1))
Dividindo o numerador e o denominador por 2:
f'(x) = 2x + 2g'(2x + 1)2raizx^2 + g(2x + 1)

Passo 5

Agora, vamos calcular $ f’(0) $. Substituímos $ x = 0 $ na expressão que encontramos:
f'(0)
Simplificando:
x = 0
Sabemos pelo enunciado que $ g(1) = 9 $ e $ g’(1) = 2\sqrt{2} $. Substituindo esses valores:
f'(0) = 0 + g'(2(0) + 1)raiz0^2 + g(2(0) + 1)

Resposta

A derivada de $ f $ é:
f
E o valor de $ f’(0) $ é:
f'(x) = x + g'(2x + 1)raizx^2 + g(2x + 1)

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