Sejam
funções deriváveis, tais que,
,
e
.
Determine
e calcule
;
Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente tem duas funções, $ f $ e $ g $, que são diferenciáveis. A função $ f(x) $ é definida como $ \sqrt{x^{2} + g(2x + 1)} $. A gente precisa encontrar a derivada de $ f $, ou seja, $ f’(x) $, e depois calcular $ f’(0) $. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e conhecer um pouquinho sobre derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada de $ f(x) = \sqrt{x^{2} + g(2x + 1)} $. Para derivar uma raiz quadrada, a gente usa a regra da cadeia. Lembra que a derivada de $ \sqrt{u} $ é $ \frac{1}{2\sqrt{u}} $ multiplicado pela derivada de $ u $.
Passo 3
Vamos identificar $ u $ na nossa função:
Agora, a derivada de $ u $ em relação a $ x $ é:
Aqui, aplicamos a regra da cadeia novamente para derivar $ g(2x + 1) $, onde a derivada de $ 2x + 1 $ é 2.
Passo 4
Agora, juntando tudo, a derivada de $ f(x) $ é:
Podemos simplificar um pouco:
Dividindo o numerador e o denominador por 2:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ f’(0) $. Substituímos $ x = 0 $ na expressão que encontramos:
Simplificando:
Sabemos pelo enunciado que $ g(1) = 9 $ e $ g’(1) = 2\sqrt{2} $. Substituindo esses valores:
Resposta
A derivada de $ f $ é:
E o valor de $ f’(0) $ é: