Considere a função
definida por
, onde
é uma função diferenciável que satisfaz a:
e
. Sabe-se também que os pontos
,
e
pertencem ao gráfico da derivada
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função $ f(x) = h\left((x+1) e^{x}\right) $, onde $ h $ é uma função diferenciável com alguns valores específicos fornecidos. Nosso objetivo é calcular a derivada dessa função, ou seja, $ f’(x) $. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia nos ajuda a derivar funções compostas, que é exatamente o que temos aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função interna e a função externa na nossa função composta $ f(x) = h\left((x+1) e^{x}\right) $. Aqui, a função interna é $ u(x) = (x+1) e^{x} $ e a função externa é $ h(u) $. Para derivar $ f(x) $, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que diz que a derivada de uma função composta $ h(u(x)) $ é $ h’(u(x)) \cdot u’(x) $.
Passo 3
Vamos calcular agora a derivada da função interna $ u(x) = (x+1) e^{x} $. Para isso, usamos a Regra do Produto, que é utilizada quando temos o produto de duas funções. A Regra do Produto nos diz que a derivada de $ u(x) = v(x) \cdot w(x) $ é $ u’(x) = v’(x) w(x) + v(x) w’(x) $.
Passo 4
Aplicando a Regra do Produto na função $ u(x) = (x+1) e^{x} $:
- $ v(x) = x + 1 $ \
- $ w(x) = e^{x} $
Calculando as derivadas:
- $ v’(x) = 1 $ \
- $ w’(x) = e^{x} $
Agora, substituindo na Regra do Produto:
Podemos fatorar $ e^{x} $:
Passo 5
Agora que temos a derivada da função interna $ u’(x) = e^{x} (x + 2) $, vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar $ f’(x) $. Segundo a Regra da Cadeia:
Resposta
A derivada de $ f(x) $ é