Considere a função f: R R definida por f(x)=h((x+1) e^x), onde h: R R é uma função diferenciável que satisfaz a: h(0)=-1, h(1)=2 e h(2)=4. Sabe-se também que os pontos (0,3), (1,3) e (2,2) pertencem ao gráfico da derivada h^prime.
Calcule f^prime(x), x in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função $ f(x) = h\left((x+1) e^{x}\right) $, onde $ h $ é uma função diferenciável com alguns valores específicos fornecidos. Nosso objetivo é calcular a derivada dessa função, ou seja, $ f’(x) $. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia nos ajuda a derivar funções compostas, que é exatamente o que temos aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função interna e a função externa na nossa função composta $ f(x) = h\left((x+1) e^{x}\right) $. Aqui, a função interna é $ u(x) = (x+1) e^{x} $ e a função externa é $ h(u) $. Para derivar $ f(x) $, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que diz que a derivada de uma função composta $ h(u(x)) $ é $ h’(u(x)) \cdot u’(x) $.

Passo 3

Vamos calcular agora a derivada da função interna $ u(x) = (x+1) e^{x} $. Para isso, usamos a Regra do Produto, que é utilizada quando temos o produto de duas funções. A Regra do Produto nos diz que a derivada de $ u(x) = v(x) \cdot w(x) $ é $ u’(x) = v’(x) w(x) + v(x) w’(x) $.

Passo 4

Aplicando a Regra do Produto na função $ u(x) = (x+1) e^{x} $:
  • $ v(x) = x + 1 $ \
  • $ w(x) = e^{x} $
Calculando as derivadas:
  • $ v’(x) = 1 $ \
  • $ w’(x) = e^{x} $
Agora, substituindo na Regra do Produto:
u(x) = (x+1) e^x
Podemos fatorar $ e^{x} $:
v(x) = x + 1

Passo 5

Agora que temos a derivada da função interna $ u’(x) = e^{x} (x + 2) $, vamos aplicar a Regra da Cadeia para encontrar $ f’(x) $. Segundo a Regra da Cadeia:
u'(x) = e^x (x + 2)

Resposta

A derivada de $ f(x) $ é
f(x)

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