Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x, dos seguintes conjuntos:
A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x^{2} \leq y \leq x\right\} ;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;\;x^2\le y\le x\}.
Este é um problema de volume de revolução, que vamos resolver pelo método dos anéis (washers). Precisamos achar os limites de integração em x e aplicar a fórmula
V=\int_a^b \pi\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr]\,dx.

Passo 2

Determinamos o intervalo de x onde existe a região A. A condição x^2\le x equivale a
x^2 - x \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x-1)\le 0 \quad\Longrightarrow\quad 0\le x\le 1.

Passo 3

Para um valor fixo de x\in[0,1], a região entre y=x^2 (curva inferior) e y=x (curva superior) ao girar em torno do eixo x forma um anel de:
– raio externo R(x)=x,
– raio interno r(x)=x^2.
A área da seção transversal é
A(x)=\pi\bigl[R(x)^2 - r(x)^2\bigr] =\pi\bigl(x^2 - x^4\bigr).

Passo 4

O volume é dado por
V = \int_{0}^{1} \pi\bigl(x^2 - x^4\bigr)\,dx =\pi\left(\int_{0}^{1}x^2\,dx - \int_{0}^{1}x^4\,dx\right).

Passo 5

Calculando as integrais:
\int_{0}^{1}x^2\,dx = \frac{1}{3}, \qquad \int_{0}^{1}x^4\,dx = \frac{1}{5}.
Logo
V = \pi\Bigl(\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{5}\Bigr) = \pi\cdot\frac{5-3}{15} = \frac{2\pi}{15}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{15}

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