Exercício 3 - Calcule o movimento de uma partícula de massa m que desloca-se sobre o eixo 0 x, sujeita a uma força F(t)=1 /(t+1), sabendo que no instante t=0 ela está na origem e sua velocidade é nula.
  • Calcule o movimento de uma partícula de massa m que desloca-se sobre o eixo 0 x, sujeita a uma força F(t)=1 /(t+1)^{2}, sabendo que no instante t=0 ela está na origem e sua velocidade é v_{0}=-1.
  • Calcule o movimento de uma partícula de massa m que desloca-se sobre o eixo 0 x, sujeita a uma força F(t)=1 /(t+1)^{3}, sabendo que no instante t=0 ela está na origem e sua velocidade é v_{0}=-1 / 2.

Passo 1

O enunciado pede o movimento de uma partícula de massa m ao longo do eixo Ox sob forças dependentes do tempo:
  1. F(t)=\dfrac1{t+1}, com x(0)=0 e v(0)=0.
  2. F(t)=\dfrac1{(t+1)^{2}}, com x(0)=0 e v(0)=-1.
  3. F(t)=\dfrac1{(t+1)^{3}}, com x(0)=0 e v(0)=-\tfrac12.
    O conteúdo necessário é a segunda lei de Newton unidimensional e integração para obter velocidade e posição.

Passo 2

A equação de Newton unidimensional é
m\,\frac{dv}{dt} = F(t).
Integrando de 0 a t obtemos
v(t)-v(0) \;=\;\frac{1}{m}\int_{0}^{t}F(s)\,ds.
A seguir, a posição satisfaz
x(t)-x(0) \;=\;\int_{0}^{t}v(s)\,ds.

Passo 3

Caso 1: F(t)=\dfrac1{t+1}, v(0)=0.
\int_{0}^{t}\frac{ds}{s+1} = \ln(t+1).
Logo
v(t) = 0 + \frac{1}{m}\ln(t+1) =\frac{1}{m}\ln(t+1).
Para x(t),
x(t)=\int_{0}^{t}\frac{1}{m}\ln(s+1)\,ds =\frac{1}{m}\Bigl[(t+1)\ln(t+1)-t\Bigr].

Passo 4

Caso 2: F(t)=\dfrac1{(t+1)^{2}}, v(0)=-1.
\int_{0}^{t}\frac{ds}{(s+1)^{2}} =\Bigl[-\frac{1}{s+1}\Bigr]_{0}^{t} =-\frac{1}{t+1}+1.
Então
v(t) = -1 + \frac{1}{m}\Bigl(1-\frac{1}{t+1}\Bigr) =-1 +\frac{1}{m}-\frac{1}{m(t+1)}.
E para x(t),
x(t)=\int_{0}^{t}\Bigl(-1+\frac{1}{m}-\frac{1}{m(s+1)}\Bigr)ds =-t + \frac{t}{m} - \frac{1}{m}\ln(t+1).

Passo 5

Caso 3: F(t)=\dfrac1{(t+1)^{3}}, v(0)=-\tfrac12.
\int_{0}^{t}\frac{ds}{(s+1)^{3}} =\Bigl[-\frac{1}{2(s+1)^{2}}\Bigr]_{0}^{t} =-\frac{1}{2(t+1)^{2}}+\frac12.
Logo
v(t) = -\tfrac12 + \frac{1}{m}\Bigl(\tfrac12-\frac{1}{2(t+1)^{2}}\Bigr) =-\frac12 + \frac{1}{2m}\Bigl(1-\frac{1}{(t+1)^{2}}\Bigr).
Para x(t),
x(t)=\int_{0}^{t}\Bigl(-\tfrac12 + \frac{1}{2m}-\frac{1}{2m(s+1)^{2}}\Bigr)ds =-\frac{t}{2} + \frac{t}{2m} +\frac{1}{2m}\Bigl(\frac{1}{t+1}-1\Bigr).

Resposta

Caso 1
v(t)=\frac{1}{m}\ln(t+1), \quad x(t)=\frac{(t+1)\ln(t+1)-t}{m}.
Caso 2
v(t)=-1 + \frac{1}{m}-\frac{1}{m(t+1)}, \quad x(t)=-t + \frac{t}{m} - \frac{1}{m}\ln(t+1).
Caso 3
v(t)=-\tfrac12 + \frac{1}{2m}\Bigl(1-\frac{1}{(t+1)^{2}}\Bigr),
x(t)=-\frac{t}{2} + \frac{t}{2m} +\frac{1}{2m}\Bigl(\frac{1}{t+1}-1\Bigr).

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