Exercício 1 Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0 x com velocidade v(t)=t^{2}-3 t-4, t \geq 0.
(a) Calcule o deslocamento entre os instantes t=0 e t=4.
(b) Calcule o espaço percorrido entre os instantes t=0 e t=4.

Passo 1

O enunciado dá a velocidade de uma partícula sobre o eixo Ox como
v(t)=t^{2}-3t-4,\quad t\ge0.
Queremos (a) o deslocamento \Delta x=\int_{0}^{4}v(t)\,\mathrm{d}t e (b) o espaço percorrido, que é \displaystyle\int_{0}^{4}\bigl|v(t)\bigr|\,\mathrm{d}t.
Para isso usaremos:
  1. O Teorema Fundamental do Cálculo para obter o deslocamento.
  2. Análise do sinal de v(t) para integrar o valor absoluto e obter o espaço percorrido.

Passo 2

Primeiro obtemos uma primitiva de v(t). Chamemos de F(t)=\displaystyle\int v(t)\,\mathrm{d}t.
Como
v(t)=t^{2}-3t-4,
então
F(t)=\int\bigl(t^{2}-3t-4\bigr)\,\mathrm{d}t =\frac{t^{3}}{3}-\frac{3t^{2}}{2}-4t+C.

Passo 3

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, o deslocamento entre t=0 e t=4 é
\Delta x=F(4)-F(0).
Como F(0)=C, temos
\Delta x =\Bigl(\frac{4^{3}}{3}-\frac{3\cdot4^{2}}{2}-4\cdot4\Bigr) -\bigl(0-0-0\bigr) =\frac{64}{3}-\frac{48}{2}-16 =\frac{64}{3}-24-16 =\frac{64-120}{3} =-\frac{56}{3}.

Passo 4

Para calcular o espaço percorrido precisamos saber onde v(t) muda de sinal e, em cada subintervalo, integrar \bigl|v(t)\bigr|.
Resolvendo
t^{2}-3t-4=0 \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2} =\frac{3\pm5}{2},
os zeros são t=-1 e t=4. Como consideramos t\ge0, o único ponto relevante é t=4. Testando um valor em 0<t<4 (por exemplo t=1), vemos
v(1)=1-3-4=-6<0,
logo em todo o intervalo [0,4] temos v(t)\le0.

Passo 5

Se v(t)\le0 em [0,4], então
\int_{0}^{4}\bigl|v(t)\bigr|\,\mathrm{d}t =-\int_{0}^{4}v(t)\,\mathrm{d}t =-\Delta x =-\Bigl(-\frac{56}{3}\Bigr) =\frac{56}{3}.

Resposta

(a) \displaystyle -\tfrac{56}{3}.
(b) \displaystyle \tfrac{56}{3}.

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