Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido que é formado ao girar, em torno do eixo y, a região delimitada por três curvas: $ y = x^{2} $, $ y = 1 $ e $ x = 0 $. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente o método das cascas cilíndricas, para encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região:
- $ y = x^{2} $: é uma parábola que se abre para cima.
- $ y = 1 $: é uma linha horizontal.
- $ x = 0 $: é o eixo y.
Plotando essas curvas, vemos que a região de interesse está entre a parábola $ y = x^{2} $, a linha $ y = 1 $ e o eixo y ($ x = 0 $), limitado para $ x $ de 0 a 1, já que $ y = 1 $ intercepta a parábola em $ x = \pm1 $, mas consideramos apenas $ x = 1 $ porque $ x = 0 $ é o eixo y.
Passo 3
Como queremos girar essa região em torno do eixo y, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo paralelo ao eixo das variáveis originais (neste caso, y sabendo que nossa variável principal é x).
A fórmula para o volume usando cascas cilíndricas é:
Aqui:
- $ x $ é a distância do elemento à linha de rotação (eixo y).
- $ h(x) $ é a altura da casca, que neste caso é a diferença entre as funções superiores e inferiores.
Passo 4
Vamos identificar $ h(x) $:
A altura da casca é dada pela diferença entre $ y = 1 $ (a função superior) e $ y = x^{2} $ (a função inferior):
Então, nossa integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral passo a passo:
Primeiro, distribua o $ x $:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, avaliamos a expressão nos limites de 0 a 1:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
Então, a diferença é:
Passo 7
Multiplicando pelo $ 2\pi $:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ \frac{\pi}{2} $ unidades cúbicas.