Encontre o vetor gradiente da função f(x, y)=x y+y^2 e use-o para calcular a derivada direcional Du f(1,1), em que u=raiz32 i+12 j.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra gente encontrar o vetor gradiente da função $ f(x, y) = x y + y^{2} $ e depois usar esse gradiente pra calcular a derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f(1,1) $, onde $ \mathbf{u} = \frac{\sqrt{3}}{2} \mathbf{i} + \frac{1}{2} \mathbf{j} $. Vamos precisar saber o que é vetor gradiente e como calcular a derivada direcional usando ele.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função $ f(x, y) $. O vetor gradiente, representado por $ \nabla f $, é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis. No nosso caso, as variáveis são $ x $ e $ y $.

Passo 3

Então, temos que calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = x y + y^{2} $ em relação a $ x $ e $ y $.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
f(x, y) = x y + y^2
Porque ao derivar $ x y $ em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante, então a derivada é $ y $. E a derivada de $ y^{2} $ em relação a $ x $ é 0, já que não tem $ x $ ali.

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
y
Aqui, derivando $ x y $ em relação a $ y $, tratamos $ x $ como constante, então a derivada é $ x $. E a derivada de $ y^{2} $ é $ 2y $.

Passo 5

Então, o vetor gradiente $ \nabla f $ vai ser:
nabla f

Passo 6

Vamos calcular o vetor gradiente no ponto específico $ (1,1) $:
(1,1)

Passo 7

Agora, para encontrar a derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f(1,1) $, usamos a fórmula do produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor direção $ \mathbf{u} $:
Du f(1,1)

Passo 8

Vamos fazer esse produto escalar:
nabla f(1,1) = (1, 3)
u = ( raiz32, 12 )
Então:
Du f(1,1) = 1 cdot raiz32 + 3 cdot 12 = raiz32 + 32 = 3 + raiz32

Resposta

A derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f(1,1) $ é $ \frac{3 + \sqrt{3}}{2} $.

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