Encontre o vetor gradiente da função
e use-o para calcular a derivada direcional
, em que
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra gente encontrar o vetor gradiente da função $ f(x, y) = x y + y^{2} $ e depois usar esse gradiente pra calcular a derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f(1,1) $, onde $ \mathbf{u} = \frac{\sqrt{3}}{2} \mathbf{i} + \frac{1}{2} \mathbf{j} $. Vamos precisar saber o que é vetor gradiente e como calcular a derivada direcional usando ele.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor gradiente da função $ f(x, y) $. O vetor gradiente, representado por $ \nabla f $, é um vetor que contém as derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis. No nosso caso, as variáveis são $ x $ e $ y $.
Passo 3
Então, temos que calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) = x y + y^{2} $ em relação a $ x $ e $ y $.
Primeiro, a derivada parcial em relação a $ x $:
Porque ao derivar $ x y $ em relação a $ x $, tratamos $ y $ como uma constante, então a derivada é $ y $. E a derivada de $ y^{2} $ em relação a $ x $ é 0, já que não tem $ x $ ali.
Passo 4
Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
Aqui, derivando $ x y $ em relação a $ y $, tratamos $ x $ como constante, então a derivada é $ x $. E a derivada de $ y^{2} $ é $ 2y $.
Passo 5
Então, o vetor gradiente $ \nabla f $ vai ser:
Passo 6
Vamos calcular o vetor gradiente no ponto específico $ (1,1) $:
Passo 7
Agora, para encontrar a derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f(1,1) $, usamos a fórmula do produto escalar entre o vetor gradiente e o vetor direção $ \mathbf{u} $:
Passo 8
Vamos fazer esse produto escalar:
Então:
Resposta
A derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f(1,1) $ é $ \frac{3 + \sqrt{3}}{2} $.