Determine as derivadas parciais de segunda ordem
e
da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem $ f_{xx} $, $ f_{xy} $ e $ f_{yy} $ da função $ f(x, y) = x^{3} + 3x{2}y{2} $. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais, que são usadas para entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis independentemente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Ela mede a taxa de variação da função em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, precisamos primeiro encontrar as derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ x $, denotada por $ f_x $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante e derivamos em relação a $ x $.
Derivando em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ y $, denotada por $ f_y $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante e derivamos em relação a $ y $.
Derivando em relação a $ y $:
Passo 5
Com as derivadas parciais de primeira ordem encontradas, agora vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, a derivada parcial de segunda ordem em relação a $ x $ duas vezes, $ f_{xx} $:
Derivando $ f_x = 3x^{2} + 6xy^{2} $ em relação a $ x $:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada mista de segunda ordem, $ f_{xy} $, que é a derivada de $ f_x $ em relação a $ y $:
Derivando $ f_x = 3x^{2} + 6xy^{2} $ em relação a $ y $:
Passo 7
Por fim, calculamos a derivada parcial de segunda ordem em relação a $ y $ duas vezes, $ f_{yy} $:
Derivando $ f_y = 6x^{2}y $ em relação a $ y $:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = x^{3} + 3x{2}y{2} $ são: