Determine as derivadas parciais de segunda ordem fx x, fx y e fy y da função f(x, y)=x^3+3 x^2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem $ f_{xx} $, $ f_{xy} $ e $ f_{yy} $ da função $ f(x, y) = x^{3} + 3x{2}y{2} $. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais, que são usadas para entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis independentemente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. Ela mede a taxa de variação da função em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem, precisamos primeiro encontrar as derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ x $, denotada por $ f_x $. Isso significa que tratamos $ y $ como uma constante e derivamos em relação a $ x $.
f(x, y)
Derivando em relação a $ x $:
x

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ f(x, y) $ em relação a $ y $, denotada por $ f_y $. Aqui, tratamos $ x $ como uma constante e derivamos em relação a $ y $.
f(x, y)
Derivando em relação a $ y $:
y

Passo 5

Com as derivadas parciais de primeira ordem encontradas, agora vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Primeiro, a derivada parcial de segunda ordem em relação a $ x $ duas vezes, $ f_{xx} $:
Derivando $ f_x = 3x^{2} + 6xy^{2} $ em relação a $ x $:
x

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada mista de segunda ordem, $ f_{xy} $, que é a derivada de $ f_x $ em relação a $ y $:
Derivando $ f_x = 3x^{2} + 6xy^{2} $ em relação a $ y $:
fxy

Passo 7

Por fim, calculamos a derivada parcial de segunda ordem em relação a $ y $ duas vezes, $ f_{yy} $:
Derivando $ f_y = 6x^{2}y $ em relação a $ y $:
y

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = x^{3} + 3x{2}y{2} $ são:
f(x, y) = x^3 + 3x^2y^2
fxx = 6x + 6y^2
fxy = 12xy

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