Determine as derivadas parciais
e
da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão tá pedindo é para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função $ f(x, y) = y \cdot \sin\left(x^{3} + 3x{2}y{2}\right) $ em relação a $ x $ e $ y $. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $, que é $ f_{x} $.
A função é um produto de duas partes: $ y $ e $ \sin\left(x^{3} + 3x{2}y{2}\right) $. Então, aplicamos a regra do produto, que diz que a derivada do produto de duas funções é a derivada da primeira pela segunda mais a primeira pela derivada da segunda.
Primeiro, derivamos $ y $ em relação a $ x $. Como $ y $ é tratada como uma constante quando derivamos em relação a $ x $, a derivada de $ y $ é 0.
Segundo, derivamos $ \sin\left(x^{3} + 3x{2}y{2}\right) $ em relação a $ x $. Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) \cdot u’ $, onde $ u = x^{3} + 3x{2}y{2} $.
Calculando $ u’ $ em relação a $ x $:
Então, a derivada de $ \sin(u) $ é:
Agora, juntando tudo segundo a regra do produto:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $, que é $ f_{y} $.
Novamente, a função é um produto de $ y $ e $ \sin\left(x^{3} + 3x{2}y{2}\right) $. Aplicamos a regra do produto.
Primeiro, derivamos $ y $ em relação a $ y $, que é 1.
Segundo, derivamos $ \sin\left(x^{3} + 3x{2}y{2}\right) $ em relação a $ y $. Usamos a regra da cadeia novamente. A derivada de $ \sin(u) $ é $ \cos(u) \cdot u’ $, onde $ u = x^{3} + 3x{2}y{2} $.
Calculando $ u’ $ em relação a $ y $:
Então, a derivada de $ \sin(u) $ é:
Agora, juntando tudo segundo a regra do produto:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais da função $ f(x, y) = y \cdot \sin\left(x^{3} + 3x{2}y{2}\right) $ são: